大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説
(1)
まず、図を描こう。
正確に描くと、図Aのような感じになる。
だけど、共通テスト本番でこんな図を描いてはいけない。時間がかかるから。
おすすめは、図Bのような略図だ。
この図Bを見ながら問題を解く。
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を求めると、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AB}}&=(3,6,0)-(2,7,-1)\\ &=(1,-1,1) \end{align} $$
解答ア:1, イ:-, ウ:1, エ:1
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{CD}}&=(-9,8,-4)-(-8,10,-3)\\ &=(-1,-2,-1) \end{align} $$
となる。
よって、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}&=(1,-1,1)\cdot(-1,-2,-1)\\ &=-1+2-1\\ &=0 \end{align} $$
解答オ:0
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
だ。
(2)
図Bに(1)で分かったことを書き込むと、図Cができる。
点$\mathrm{P}$は$\ell_{1}$上にあるので、$s$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式A
と表せる。
また、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
だけど、これは、式Aより
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式B
とかきなおせる。
解答カ:2
式Bを使って、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$を求める。
花子さんの考え方
図Cと式Bより、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\
&=(2+s,7-s,-1+s)\class{tex_formula}{式B'}
\end{align}
$$
とかける。
よって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$は
$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}&=(2+s)^{2}+(7-s)^{2}+(-1+s)^{2}\\
&=4+4s+s^{2}+49-14s+s^{2}+1-2s+s^{2}\\
&=3s^{2}-12s+54\class{tex_formula}{式C}
\end{align}
$$
と表せる。
解答キ:3, ク:1, ケ:2, コ:5, サ:4
別解
別におすすめでもないけど、キクケコサは次のようにしても求められる。
式Bより、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$は
$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}&=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}})\\
&=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}+2s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s^{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}\class{tex_formula}{式D}
\end{align}
$$
とかける。
いま、図Cより、
$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}&=2^{2}+7^{2}+(-1)^{2}\\
&=54
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}&=(2,7,-1)\cdot(1,-1,1)\\
&=2-7-1\\
&=-6
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}&=1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}\\
&=3
\end{align}
$$
だから、式Dは
$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}&=54+2s\cdot(-6)+s^{2}\cdot 3\\
&=3s^{2}-12s+54\class{tex_formula}{式C}
\end{align}
$$
と表せる。
解答キ:3, ク:1, ケ:2, コ:5, サ:4
式Cについて、
グラフは下に凸の放物線
$s$の範囲はすべての実数
だから、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$が最小になるのは放物線の頂点だ。
ここで
復習
二次関数 $y=ax^{2}+bx+c$ の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$
なので、式Cの放物線の頂点の$s$座標は
$\dfrac{12}{2\cdot 3}=2$
である。
したがって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$も
$s=2$
であることが分かる。
解答ス:2
太郎さんの考え方
3点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る平面を取り出すと、直線$\ell_{1}$と点$\mathrm{O}$の関係は図Dのようになっている。
直線$\ell_{1}$と点$\mathrm{O}$の最短距離は、図Dの赤い線分の長さ。
なので、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図Dの青い点のときだ。
このとき、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$式E
である。
解答シ:1
ここで、図Dと式Bより、
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\
&=(2+s,7-s,-1+s)\class{tex_formula}{式B'}
\end{align}
$$
なので、式Eは
$(2+s,7-s,-1+s)\cdot(1,-1,1)=0$
と書きかえられる。
これを計算して、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$は
$2+s-7+s-1+s=0$
$3s-6=0$
$s=2$
である。
解答ス:2
(3)
今度は$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が最小になるときを考える。
なので、まず$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を式で表そう。
使う図は図Cなので、もう一度載せておく。
点$\mathrm{Q}$は直線$\ell_{2}$上にあるので、(2)と同様に、$t$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$式F
と表せる。
また、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
だけど、これは、式Fより
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
とかきなおせる。
これを成分で表すと、
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=(-8,10,-3)+t(-1,-2,-1)\\
&=(-8-t,10-2t,-3-t)\class{tex_formula}{式G}
\end{align}
$$
だ。
したがって、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
は、式G,式B'より
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{PQ}}&=(-8-t,10-2t,-3-t)\\
&\hspace{60px} -(2+s,7-s,-1+s)\\
&=(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)
\end{align}
$$
式H
となる。
式Hを使って、花子さんと太郎さん両方の考え方で解いてみる。
花子さんの考え方
式Hより、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$は
$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}&=(-10-s-t)^{2}+(3+s-2t)^{2}\\
&\hspace{60px}+(-2-s-t)^{2}\\
\end{align}
$$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}}&=(100+s^{2}+t^{2}+20s+20t+2st)\\
&\hspace{40px}+(9+s^{2}+4t^{2}+6s-12t-4st)\\
&\hspace{80px}+(4+s^{2}+t^{2}+4s+4t+2st)\\
\end{align}
$$
と表せる。
式Iの赤い部分を平方完成すると、
$$
\begin{align}
3s^{2}+30s&=3(s^{2}+10s+5^{2}-5^{2})\\
&=3(s+5)^{2}-3\cdot 5^{2}
\end{align}
$$
式Iの緑の部分を平方完成すると、
$$
\begin{align}
6t^{2}+12t&=6(t^{2}+2t+1^{2}-1^{2})\\
&=6(t+1)^{2}-6\cdot 1^{2}
\end{align}
$$
なので、式Iは
$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}&=3(s+5)^{2}-3\cdot 5^{2}\\
&\hspace{60px}+6(t+1)^{2}-6\cdot 1^{2}+113\\
&=\textcolor{red}{3(s+5)^{2}}+\textcolor{green}{6(t+1)^{2}}\\
&\hspace{60px}+\textcolor{royalblue}{113-3\cdot 5^{2}-6\cdot 1^{2}}\class{tex_formula}{式I'}
\end{align}
$$
と変形できる。
いま、$s$と$t$は互いに無関係なので、式I'の
赤い部分は、$s=-5$のとき 最小値$0$
緑の部分は、$t=-1$のとき 最小値$0$
だ。
最小値は問われてないので、式I'の青い部分は計算しない。
以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\left\{\begin{array}{l}
s=-5\\
t=-1
\end{array}\right.$
のとき。
これを
式B'に代入すると
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2-5,7+5,-1-5)\\
&=(-3,12,-6)
\end{align}
$$
となるから、このときの点$\mathrm{P}$の座標は
$(-3,12,-6)$
解答セ:-, ソ:3, タ:1, チ:2, ツ:-, テ:6
式Hに代入すると
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=(-8+1,10+2,-3+1)\\
&=(-7,12,-2)
\end{align}
$$
となるから、このときの点$\mathrm{Q}$の座標は
$(-7,12,-2)$
解答ト:-, ナ:7, ニ:1, ヌ:2, ネ:-, ノ:2
である。
(2)の別解の方法は、計算が煩雑になるから省略。
太郎さんの考え方
(1)で考えたように
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
なので
$\ell_{1}$⊥$\ell_{2}$
だから、消しゴムとか辞書の箱とか、直方体のものを思い浮かべると$\ell_{1}$と$\ell_{2}$の位置関係が分かりやすい。
図Eのように、直方体の青い辺とその延長が$\ell_{1}$,緑の辺とその延長が$\ell_{2}$と考える。
$\ell_{1}$と$\ell_{2}$の最短距離は、図Eの赤線の長さ。
したがって、線分$\mathrm{PQ}$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図中の青い点,点$\mathrm{Q}$が緑の点のときだ。
このとき、
$\mathrm{PQ}$⊥$\ell_{1}$
$\mathrm{PQ}$⊥$\ell_{2}$
より
$\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\class{tex_formula}{式J}\\
\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0\class{tex_formula}{式K}
\end{array}\right.$
という式がつくれる。
ここで、式Hより
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)$
なので、
式Jから
途中式
$$
\begin{align}
&(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)\\
&\hspace{160px}\cdot(1,-1,1)=0\\
&(-10-s-t)-(3+s-2t)\\
&\hspace{140px}+(-2-s-t)=0\\
&-3s-15=0\\
\end{align}
$$
式Kから
途中式
$$
\begin{align}
&(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)\\
&\hspace{140px}\cdot(-1,-2,-1)=0\\
&-(-10-s-t)-2(3+s-2t)\\
&\hspace{140px}-(-2-s-t)=0\\
&6t+6=0\\
\end{align}
$$
であることが分かる。
以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\left\{\begin{array}{l}
s=-5\\
t=-1
\end{array}\right.$
のとき。
これを
式B'に代入すると
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2-5,7+5,-1-5)\\
&=(-3,12,-6)
\end{align}
$$
となるので、このときの点$\mathrm{P}$の座標は
$(-3,12,-6)$
解答セ:-, ソ:3, タ:1, チ:2, ツ:-, テ:6
式Hに代入すると
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=(-8+1,10+2,-3+1)\\
&=(-7,12,-2)
\end{align}
$$
となるので、このときの点$\mathrm{Q}$の座標は
$(-7,12,-2)$
解答ト:-, ナ:7, ニ:1, ヌ:2, ネ:-, ノ:2
である。