大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

まず、図を描こう。

図A
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡB 第5問 解説図A

正確に描くと、図Aのような感じになる。
だけど、共通テスト本番でこんな図を描いてはいけない。時間がかかるから。
おすすめは、図Bのような略図だ。

図B
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡB 第5問 解説図B

この図Bを見ながら問題を解く。


$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を求めると、

$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AB}}&=(3,6,0)-(2,7,-1)\\ &=(1,-1,1) \end{align} $$

解答ア:1, イ:-, ウ:1, エ:1

$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{CD}}&=(-9,8,-4)-(-8,10,-3)\\ &=(-1,-2,-1) \end{align} $$

となる。

よって、

$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}&=(1,-1,1)\cdot(-1,-2,-1)\\ &=-1+2-1\\ &=0 \end{align} $$

解答オ:0

なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
だ。

(2)

図Bに(1)で分かったことを書き込むと、図Cができる。

図C
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡB 第5問 解説図C

点$\mathrm{P}$は$\ell_{1}$上にあるので、$s$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式A
と表せる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
だけど、これは、式Aより
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式B
とかきなおせる。

解答カ:2

式Bを使って、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$を求める。

花子さんの考え方

図Cと式Bより、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\ &=(2+s,7-s,-1+s)\class{tex_formula}{式B'} \end{align} $$ とかける。

よって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$は
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}&=(2+s)^{2}+(7-s)^{2}+(-1+s)^{2}\\ &=4+4s+s^{2}+49-14s+s^{2}+1-2s+s^{2}\\ &=3s^{2}-12s+54\class{tex_formula}{式C} \end{align} $$ と表せる。

解答キ:3, ク:1, ケ:2, コ:5, サ:4

別解

別におすすめでもないけど、クケコサは次のようにしても求められる。

式Bより、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$は
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}&=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}})\\ &=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}+2s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s^{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}\class{tex_formula}{式D} \end{align} $$ とかける。

いま、図Cより、
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}&=2^{2}+7^{2}+(-1)^{2}\\ &=54 \end{align} $$ $$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}&=(2,7,-1)\cdot(1,-1,1)\\ &=2-7-1\\ &=-6 \end{align} $$ $$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}&=1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}\\ &=3 \end{align} $$

だから、式Dは
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}&=54+2s\cdot(-6)+s^{2}\cdot 3\\ &=3s^{2}-12s+54\class{tex_formula}{式C} \end{align} $$ と表せる。

解答キ:3, ク:1, ケ:2, コ:5, サ:4

式Cについて、
グラフは下に凸の放物線 $s$の範囲はすべての実数 だから、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$が最小になるのは放物線の頂点だ。

ここで

復習

二次関数 $y=ax^{2}+bx+c$ の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$

なので、式Cの放物線の頂点の$s$座標は
$\dfrac{12}{2\cdot 3}=2$
である。

したがって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$も
$s=2$
であることが分かる。

解答ス:2

太郎さんの考え方

3点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る平面を取り出すと、直線$\ell_{1}$と点$\mathrm{O}$の関係は図Dのようになっている。

図D
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡB 第5問 解説図D

直線$\ell_{1}$と点$\mathrm{O}$の最短距離は、図Dの赤い線分の長さ。
なので、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図Dの青い点のときだ。

このとき、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$式E
である。

解答シ:1

ここで、図Dと式Bより、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\ &=(2+s,7-s,-1+s)\class{tex_formula}{式B'} \end{align} $$ なので、式Eは
$(2+s,7-s,-1+s)\cdot(1,-1,1)=0$
と書きかえられる。

これを計算して、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$は
$2+s-7+s-1+s=0$
$3s-6=0$
$s=2$
である。

解答ス:2

(3)

今度は$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が最小になるときを考える。
なので、まず$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を式で表そう。
使う図は図Cなので、もう一度載せておく。

図C
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡB 第5問 解説図C

点$\mathrm{Q}$は直線$\ell_{2}$上にあるので、(2)と同様に、$t$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$式F
と表せる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
だけど、これは、式Fより
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
とかきなおせる。

これを成分で表すと、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=(-8,10,-3)+t(-1,-2,-1)\\ &=(-8-t,10-2t,-3-t)\class{tex_formula}{式G} \end{align} $$ だ。

したがって、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
は、式G,式B'より
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}&=(-8-t,10-2t,-3-t)\\ &\hspace{60px} -(2+s,7-s,-1+s)\\ &=(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t) \end{align} $$ 式H
となる。

式Hを使って、花子さんと太郎さん両方の考え方で解いてみる。

花子さんの考え方

式Hより、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$は
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}&=(-10-s-t)^{2}+(3+s-2t)^{2}\\ &\hspace{60px}+(-2-s-t)^{2}\\ \end{align} $$

途中式 $$ \begin{align} \phantom{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}}&=(100+s^{2}+t^{2}+20s+20t+2st)\\ &\hspace{40px}+(9+s^{2}+4t^{2}+6s-12t-4st)\\ &\hspace{80px}+(4+s^{2}+t^{2}+4s+4t+2st)\\ \end{align} $$
$\phantom{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}}=\textcolor{red}{3s^{2}+30s}+\textcolor{green}{6t^{2}+12t}+113$式I
と表せる。

式Iの赤い部分を平方完成すると、
$$ \begin{align} 3s^{2}+30s&=3(s^{2}+10s+5^{2}-5^{2})\\ &=3(s+5)^{2}-3\cdot 5^{2} \end{align} $$
式Iの緑の部分を平方完成すると、
$$ \begin{align} 6t^{2}+12t&=6(t^{2}+2t+1^{2}-1^{2})\\ &=6(t+1)^{2}-6\cdot 1^{2} \end{align} $$
なので、式Iは
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}&=3(s+5)^{2}-3\cdot 5^{2}\\ &\hspace{60px}+6(t+1)^{2}-6\cdot 1^{2}+113\\ &=\textcolor{red}{3(s+5)^{2}}+\textcolor{green}{6(t+1)^{2}}\\ &\hspace{60px}+\textcolor{royalblue}{113-3\cdot 5^{2}-6\cdot 1^{2}}\class{tex_formula}{式I'} \end{align} $$ と変形できる。

いま、$s$と$t$は互いに無関係なので、式I'の
赤い部分は、$s=-5$のとき 最小値$0$ 緑の部分は、$t=-1$のとき 最小値$0$ だ。
最小値は問われてないので、式I'の青い部分は計算しない。

以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\left\{\begin{array}{l}
s=-5\\
t=-1
\end{array}\right.$
のとき。

これを

式B'に代入すると
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2-5,7+5,-1-5)\\ &=(-3,12,-6) \end{align} $$ となるから、このときの点$\mathrm{P}$の座標は
$(-3,12,-6)$

解答セ:-, ソ:3, タ:1, チ:2, ツ:-, テ:6

式Hに代入すると
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=(-8+1,10+2,-3+1)\\ &=(-7,12,-2) \end{align} $$ となるから、このときの点$\mathrm{Q}$の座標は
$(-7,12,-2)$

解答ト:-, ナ:7, ニ:1, ヌ:2, ネ:-, ノ:2

である。

(2)の別解の方法は、計算が煩雑になるから省略。

太郎さんの考え方

(1)で考えたように
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
なので
$\ell_{1}$⊥$\ell_{2}$
だから、消しゴムとか辞書の箱とか、直方体のものを思い浮かべると$\ell_{1}$と$\ell_{2}$の位置関係が分かりやすい。

図E
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡB 第5問 解説図E

図Eのように、直方体の青い辺とその延長が$\ell_{1}$,緑の辺とその延長が$\ell_{2}$と考える。

$\ell_{1}$と$\ell_{2}$の最短距離は、図Eの赤線の長さ。
したがって、線分$\mathrm{PQ}$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図中の青い点,点$\mathrm{Q}$が緑の点のときだ。

このとき、
$\mathrm{PQ}$⊥$\ell_{1}$ $\mathrm{PQ}$⊥$\ell_{2}$ より
$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\class{tex_formula}{式J}\\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0\class{tex_formula}{式K} \end{array}\right.$
という式がつくれる。

ここで、式Hより
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)$
なので、

式Jから

途中式 $$ \begin{align} &(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)\\ &\hspace{160px}\cdot(1,-1,1)=0\\ &(-10-s-t)-(3+s-2t)\\ &\hspace{140px}+(-2-s-t)=0\\ &-3s-15=0\\ \end{align} $$
$s=-5$

式Kから

途中式 $$ \begin{align} &(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)\\ &\hspace{140px}\cdot(-1,-2,-1)=0\\ &-(-10-s-t)-2(3+s-2t)\\ &\hspace{140px}-(-2-s-t)=0\\ &6t+6=0\\ \end{align} $$
$t=-1$

であることが分かる。

以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\left\{\begin{array}{l}
s=-5\\
t=-1
\end{array}\right.$
のとき。

これを

式B'に代入すると
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2-5,7+5,-1-5)\\ &=(-3,12,-6) \end{align} $$ となるので、このときの点$\mathrm{P}$の座標は
$(-3,12,-6)$

解答セ:-, ソ:3, タ:1, チ:2, ツ:-, テ:6

式Hに代入すると
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=(-8+1,10+2,-3+1)\\ &=(-7,12,-2) \end{align} $$ となるので、このときの点$\mathrm{Q}$の座標は
$(-7,12,-2)$

解答ト:-, ナ:7, ニ:1, ヌ:2, ネ:-, ノ:2

である。