まず、図を描こう。

正確に描くと、図Ａのような感じになる。
だけど、共通テスト本番でこんな図を描いてはいけない。時間がかかるから。
おすすめは、図Ｂのような略図だ。

この図Bを見ながら問題を解く。

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$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を求めると、

となる。

よって、

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}& =(1,-1,1)\cdot (-1,-2,-1)\\ & =-1+2-1\\ & =0\end{array}$$

解答オ：０

なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
だ。

図Ｂに(1)で分かったことを書き込むと、図Ｃができる。

点$\mathrm{P}$は${\ell }_1$上にあるので、$s$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式Ａ
と表せる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
だけど、これは、式Ａより
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式Ｂ
とかきなおせる。

解答カ：２

式Ｂを使って、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$を求める。

図Ｃと式Ｂより、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OP}}& =(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\ & =(2+s,7-s,-1+s)\mathrm{式}{Ｂ}^{\prime }\end{array}$$ とかける。

よって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2$は
$$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2& =(2+s{)}^2+(7-s{)}^2+(-1+s{)}^2\\ & =4+4s+s^2+49\\ & -14s+s^2+1-2s+s^2\\ & =3s^2-12s+54\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ と表せる。

解答キ：３, ク：１, ケ：２, コ：５, サ：４

式Ｃについて、
グラフは下に凸の放物線 $s$の範囲はすべての実数 だから、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2$が最小になるのは放物線の頂点だ。

ここで

復習

二次関数 $y=a{x}^2+bx+c$ の頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$

なので、式Ｃの放物線の頂点の$s$座標は
${\displaystyle \frac{12}{2\cdot 3}}=2$
である。

したがって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$も
$s=2$
であることが分かる。

解答ス：２

３点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を取り出すと、直線${\ell }_1$と点$\mathrm{O}$の関係は図Ｄのようになっている。

直線${\ell }_1$と点$\mathrm{O}$の最短距離は、図Ｄの赤い線分の長さ。
なので、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図Ｄの青い点のときだ。

このとき、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$式Ｅ
である。

解答シ：１

ここで、図Ｄと式Ｂより、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OP}}& =(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\ & =(2+s,7-s,-1+s)\mathrm{式}{Ｂ}^{\prime }\end{array}$$ なので、式Ｅは
$(2+s,7-s,-1+s)\cdot (1,-1,1)=0$
と書きかえられる。

これを計算して、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$は
$2+s-7+s-1+s=0$
$3s-6=0$
$s=2$
である。

解答ス：２

今度は$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が最小になるときを考える。
なので、まず$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を式で表そう。
使う図は図Ｃなので、もう一度載せておく。

点$\mathrm{Q}$は直線${\ell }_2$上にあるので、(2)と同様に、$t$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$式Ｆ
と表せる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
だけど、これは、式Ｆより
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
とかきなおせる。

これを成分で表すと、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}& =(-8,10,-3)+t(-1,-2,-1)\\ & =(-8-t,10-2t,-3-t)\mathrm{式}Ｇ\end{array}$$ だ。

したがって、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
は、式Ｇ，式Ｂ'より
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}& =(-8-t,10-2t,-3-t)\\ & -(2+s,7-s,-1+s)\\ & =(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)\end{array}$$ 式Ｈ
となる。

式Ｈを使って、花子さんと太郎さん両方の考え方で解いてみる。

式Ｈより、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2$は
$$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2& =(-10-s-t{)}^2+(3+s-2t{)}^2\\ & +(-2-s-t{)}^2\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2}& =(100+s^2+t^2+20s+20t+2st)\\ & +(9+s^2+4t^2+6s-12t-4st)\\ & +(4+s^2+t^2+4s+4t+2st)\end{array}$$

$\phantom{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2}=3s^2+30s+6t^2+12t+113$式Ｉ
と表せる。

式Ｉの赤い部分を平方完成すると、
$$\begin{array}{rl}3s^2+30s& =3(s^2+10s+5^2-5^2)\\ & =3(s+5{)}^2-3\cdot 5^2\end{array}$$ 式Ｉの緑の部分を平方完成すると、
$$\begin{array}{rl}6t^2+12t& =6(t^2+2t+1^2-1^2)\\ & =6(t+1{)}^2-6\cdot 1^2\end{array}$$ なので、式Ｉは
$$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2& =3(s+5{)}^2-3\cdot 5^2\\ & +6(t+1{)}^2-6\cdot 1^2+113\\ & =3(s+5{)}^2+6(t+1{)}^2\\ & +113-3\cdot 5^2-6\cdot 1^2\end{array}$$ 式Ｉ'
と変形できる。

いま、$s$と$t$は互いに無関係なので、式Ｉ'の
赤い部分は、$s=-5$のとき 最小値$0$ 緑の部分は、$t=-1$のとき 最小値$0$ だ。
最小値は問われてないので、式Ｉ'の青い部分は計算しない。

以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\{\begin{array}{l}s=-5\\ t=-1\end{array}$
のとき。

これを

である。

(2)の別解の方法は、計算が煩雑になるから省略。

(1)で考えたように
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
なので
${\ell }_1$⊥${\ell }_2$
だから、消しゴムとか辞書の箱とか、直方体のものを思い浮かべると${\ell }_1$と${\ell }_2$の位置関係が分かりやすい。

図Ｅのように、直方体の青い辺とその延長が${\ell }_1$，緑の辺とその延長が${\ell }_2$と考える。

${\ell }_1$と${\ell }_2$の最短距離は、図Ｅの赤線の長さ。
したがって、線分$\mathrm{PQ}$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図中の青い点，点$\mathrm{Q}$が緑の点のときだ。

このとき、
$\mathrm{PQ}$⊥${\ell }_1$ $\mathrm{PQ}$⊥${\ell }_2$ より
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\mathrm{式}Ｊ\\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0\mathrm{式}Ｋ\end{array}$
という式がつくれる。

ここで、式Ｈより
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)$
なので、

であることが分かる。

以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\{\begin{array}{l}s=-5\\ t=-1\end{array}$
のとき。

これを

である。