おすすめはしないけど、図形的に解くと次のような方法もある。

図Ｃ，図Ｄのように、 円$C_{1}$の中心を点$\mathrm{O}$ 円$C_{2}$の中心を点$\mathrm{R}$ 円$C_{1}$と直線$\ell$の接点を点$\mathrm{P}$ 円$C_{2}$と直線$\ell$の接点を点$\mathrm{Q}$ 点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OP}$に下ろした垂線の足を点$\mathrm{S}$ 点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を点$\mathrm{T}$ とする。

まず、図Ｃから。

図中の青い四角形は長方形で、
$\mathrm{PS}=\mathrm{RQ}=$円$C_{2}$の半径
なので、
$\mathrm{OS}=$円$C_{1}$の半径$-$円$C_{2}$の半径
より
$\mathrm{OS}=2-1=1$
である。

よって、黄色い三角形は
$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{OS}=1\\ \mathrm{OR}=4 \end{array}\right.$
の直角三角形だ。

この三角形に三平方の定理を使うと、

途中式

$$ \begin{align} \mathrm{RS}&=\sqrt{\mathrm{OR}^{2}-\mathrm{OS}^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}-1^{2}}\\ \end{align} $$ より

$\mathrm{RS}=\sqrt{15}$
となる。

ここで、赤い三角形と黄色い三角形は相似なので、
$$ \begin{align} \mathrm{OP}:\mathrm{OT}:\mathrm{PT}&=\mathrm{OR}:\mathrm{OS}:\mathrm{RS}\\ &=4:1:\sqrt{15} \end{align} $$ だから、
$\mathrm{OP}:\mathrm{OT}=4:1$ $\mathrm{OP}:\mathrm{PT}=4:\sqrt{15}$ と表せる。

これに$\mathrm{OP}=2$を代入すると、
$\mathrm{OT}=\dfrac{1}{2}$ $\mathrm{PT}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$ と求められる。

したがって、図Ｃの点$\mathrm{P}$の座標は
$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)$
であることが分かる。

解答ク：１, ケ：２, コ：１, サ：５, シ：２

また、図Ｃのオレンジの点は点$\mathrm{P}$と$y$軸に関して対称なので、オレンジの点の座標は
$\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)$
である。

図Ｄでも同様に考えると、図中の黄色い三角形は
$\mathrm{OS}=\mathrm{OP}+\mathrm{RQ}=3$ $\mathrm{OR}=4$ の直角三角形だ。

よって、三平方の定理より
$$ \begin{align} \mathrm{RS}&=\sqrt{4^2-3^2}\\ &=\sqrt{7} \end{align} $$ となる。

図Ｄにおいても 赤い三角形と黄色い三角形は相似なので、
$$ \begin{align} \mathrm{OP}:\mathrm{OT}:\mathrm{PT}&=\mathrm{OR}:\mathrm{OS}:\mathrm{RS}\\ &=4:3:\sqrt{7} \end{align} $$ だから、
$\mathrm{OP}:\mathrm{OT}=4:3$ $\mathrm{OP}:\mathrm{PT}=4:\sqrt{7}$ と表せる。

これに$\mathrm{OP}=2$を代入すると、
$\mathrm{OT}=\dfrac{3}{2}$ $\mathrm{PT}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ と求められる。

したがって、図Ｄの点$\mathrm{P}$の座標は
$\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)$
であることが分かる。

解答ス：３, セ：２, ソ：７, タ：２

また、図Ｄの青い点は点$\mathrm{P}$と$y$軸に関して対称なので、青い点の座標は
$\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)$
である。