$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{B}\mathrm{C}=5\\ \angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}=60^{\circ}\\ \text{外接円の半径}R=\sqrt{7} \end{array}\right.$条件Ａ
を満たす△$\mathrm{ABC}$三角形について考える。

△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと、
$\dfrac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2R$
より
$\dfrac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{7}$
とかける。

これを計算して、
$$ \begin{align} \mathrm{AC}&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{7}\\ &=\sqrt{21} \end{align} $$ である。

解答ア：２, イ：１

このとき、△$\mathrm{ABC}$に余弦定理を使うと、
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cos\angle \mathrm{ABC}$
より
$\sqrt{21}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+5^{2}-2\mathrm{AB}\cdot 5\cdot\dfrac{1}{2}$
と表せる。

これを計算して、

途中式

$\mathrm{AB}^{2}-5\mathrm{AB}+25-21=0$
$\mathrm{AB}^{2}-5\mathrm{AB}+4=0$
$(\mathrm{AB}-1)(\mathrm{AB}-4)=0$

$\mathrm{AB}=1$，$4$
である。

解答ウ：１, エ：４

(1)で考えた条件Ａを
$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{B}\mathrm{C}=5\\ \angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}=60^{\circ}\\ \text{外接円の半径}R \end{array}\right.$条件Ｂ
に変えて、もう一度同じような作業をすると、

正弦定理より
$\dfrac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2R$
なので、$\mathrm{AC}$は
$\mathrm{AC}=\sqrt{3}R$

これを余弦定理に代入すると
$(\sqrt{3}R)^{2}=\mathrm{AB}^{2}+5^{2}-2\mathrm{AB}\cdot 5\cdot\dfrac{1}{2}$
より、
$\mathrm{AB}^{2}-5\mathrm{AB}+25-3R^{2}=0$式Ａ
となって、$\mathrm{AB}$についての２次方程式ができる。

式Ａの解を使うと、条件Ｂを満たす△$\mathrm{ABC}$の三辺は
$\mathrm{AB}=$式Ａの正の解，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{AC}=\sqrt{3}R$ と表せる。

よって、
式Ａの正の解がひとつ
$\hspace{60px} \Updownarrow$
△$\mathrm{ABC}$の三辺が一通りに決まる
だから、条件Ｂを満たす△$\mathrm{ABC}$が一通りに決まるための必要十分条件は
式Ａの正の解がひとつ といえる。

ということで、式Ａの正の解がひとつになる場合を考える。

パターンＡ

式Ａの判別式より、式Ａが重解をもつのは
$(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot(25-3R^{2})=0$
のとき。

これを計算して、式Ａが重解をもつのは

途中式

$25-4\cdot 25+4\cdot 3R^{2}=0$
$4\cdot 3R^{2}=3\cdot 25$
$R^{2}=\dfrac{25}{4}$

$R=\pm\dfrac{5}{2}$
だけど、$R \gt 0$なので、
$R=\dfrac{5}{2}$
のとき。

このとき、式Ａは

途中式

$\mathrm{AB}^{2}-5\mathrm{AB}+\left( 2\cdot \dfrac{5}{2} \right)^{2}-3\cdot \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2}=0$
$\mathrm{AB}^{2}-5\mathrm{AB}+\left( \dfrac{5}{2} \right)^{2}=0$

$\left( \mathrm{AB}- \dfrac{5}{2} \right)^{2}=0$
となって重解は正になるから、パターンＡの条件を満たす。

解答オ：５, カ：２

パターンＢ

式Ａの左辺の$\mathrm{AB}$を$x$とおいて、
$y=x^{2}-5x+25-3R^{2}$
としたグラフは
下に凸の放物線 放物線の軸は$y$軸より右 $y$軸との交点の$y$座標は$25-3R^{2}$ なので、図Ｂのようになる。

いま求めているのは、式Ａが正と$0$以下の解をもつ場合。
図Ｂでいうと、放物線と$x$軸の交点の$x$座標が正と$0$以下の場合だ。

これは、放物線と$x$軸が
$y$軸より左（$y$軸を含む） $y$軸より右 の２か所で交わる場合なので、$x$軸が図Ｂの赤い線より上（赤い線と重なるときを含む）にある場合である。

このとき、赤い点の$y$座標は$0$以下になるので、
$25-3R^{2}\leqq 0$
と表せる。

これを解くと

途中式

$3R^{2}\geqq 25$
$R^{2}\geqq\dfrac{25}{3}$
より

$R\leqq-\dfrac{5}{\sqrt{3}}$，$\dfrac{5}{\sqrt{3}}\leqq R$
となるけど、$R \gt 0$なので、
$\dfrac{5}{\sqrt{3}}\leqq R$
だ。

この分母を有理化して、パターンＢの条件を満たす$R$の範囲は
$\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\leqq R$
である。

解答キ：５, ク：３, ケ：３