図の固定

$\cos x=0$式Ａ
となる$x$は、図Ａの赤またはオレンジの角。

$x$の定義域を$0\leqq x \lt 2x$（図Ａの緑の範囲）とすると、この範囲に式Ａを満たす$x$は２つ存在し、

である。

加法定理の式
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
より、

と表せる。

これを①式の左辺に代入すると、
$$ \begin{align} &\cos 3x+\cos 2x+\cos x\\ &=(\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x)+\cos 2x\\ &\hspace{40px} +(\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x)\\ &=\cos 2x\cos x+\cos 2x+\cos 2x\cos x\\ &=(2\cos x+1)\cos 2x\class{tex_formula}{②} \end{align} $$ と変形できる。

解答オ：６

よって、①の方程式は
$(2\cos x+1)\cos 2x=0$
とかけるから、解は、
$2\cos x+1=0$ または $\cos 2x=0$
を満たす$x$だ。

$2\cos x+1=0$
は
$\cos x=-\dfrac{1}{2}$式Ｂ
となるから、これを満たす$x$は図Ｂの紫または青い角。

図の固定

$x$の定義域を$0\leqq x \lt 2x$（図Ｂの緑の範囲）とすると、この範囲に式Ｂを満たす$x$は、
$ x=\dfrac{2}{3}\pi$，$\dfrac{4}{3}\pi$式Ｃ
の２つ存在する。

$\cos 2x=0$式Ｄ
を満たす$2x$は、図Ｃの赤またはオレンジの角。

図の固定

$x$の定義域が
$ 0\leqq x \lt 2\pi$
のとき、$2x$の範囲は
$0\leqq 2x \lt 4x$
なので、図Ｃの緑の範囲になる。

この範囲で式Ｄを満たす$2x$は
$2x=\dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{3}{2}\pi$，$\dfrac{5}{2}\pi$，$\dfrac{7}{2}\pi$式Ｅ
の４つ存在する。

式Ｅの両辺を$2$で割って$x$の値にすると、式Ｄの解は
$x=\dfrac{\pi}{4}$，$\dfrac{3}{4}\pi$，$\dfrac{5}{4}\pi$，$\dfrac{7}{4}\pi$式Ｅ'
である。

以上より、①は式Ｃと式Ｅ'の合計６個の解をもつ。

解答カ：６

図の固定

この６個の解を図にすると、図Ｄのようになる。

図Ｄより、

であることが分かる。

問題文の指示通り、(i)と同様に考える。
さっきと同じような作業をくり返すのは大変なので、(i)の結果をできるだけ使おう。

(i)での作業を振り返ると、
①式の解は、式Ｂまたは式Ｄを満たす$x$ だった。

式でいうと、、
方程式
$\cos 3x+\cos 2x+\cos x=0$①
つまり
$\cos(2x+x)+\cos 2x+\cos(2x-x)=0$
①’
の解は
$\cos x=-\dfrac{1}{2}$式Ｂ
または
$\cos 2x=0$式Ｄ
を満たす$x$
だった。

③式を
$\cos(nx+x)+\cos nx+\cos(nx-x)=0$③'
として①'式と見比べると、
$2x$が$nx$ に変わっている。

このことから、方程式③の解は
$\cos x=-\dfrac{1}{2}$式Ｂ
または
$\cos nx=0$式Ｆ
を満たす$x$
だと考えられる。

式Ｂを満たす$x$は、(i)で求めた式Ｃの通り
$ x=\dfrac{2}{3}\pi$，$\dfrac{4}{3}\pi$式Ｃ
の２つ存在する。

式Ｆを満たす$x$は、(i)の式Ｄのときと同様に考えると
$nx=\dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{3}{2}\pi$，$\dfrac{5}{2}\pi$，$\dfrac{7}{2}\pi,\cdots$
より
$x=\dfrac{\pi}{2n}$，$\dfrac{3}{2n}\pi$，$\dfrac{5}{2n}\pi$，$\dfrac{7}{2n}\pi,\cdots$式Ｇ
となる。

以上より、方程式③の解は、式Ｃと式Ｇの
$ x=\dfrac{2}{3}\pi$，$\dfrac{4}{3}\pi$，$\dfrac{\pi}{2n}$，$\dfrac{3}{2n}\pi$，$\dfrac{5}{2n}\pi$，$\dfrac{7}{2n}\pi,\cdots$
式Ｈ
である。

ここでは、式Ｈの解のうち 小さい方から２つを問われている。

いま、$3\leqq n$なので、
$\dfrac{1}{n} \leqq \dfrac{1}{3}$
だから
$\dfrac{\pi}{n} \leqq \dfrac{\pi}{3}$
だ。

なので、式Ｇの小さい方から２つの解は
$\dfrac{\pi}{2n}\leqq\dfrac{\pi}{2\cdot 3}$ $\dfrac{3}{2n}\pi\leqq\dfrac{\cancel{3}}{2\cdot \cancel{3}}\pi$ となって、ともに$\dfrac{\pi}{2}$以下だから、式Ｃの解よりも小さい。

したがって、式Ｈのうち、

であることが分かる。