大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学ⅠA 第2問 [1] 解説

(1)

開始時刻から1秒後には、図形は図Aのようになっている。

図A
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図A

図Aを見ると、△$\mathrm{PBQ}$(赤い部分)の面積は、
△$\mathrm{PBQ}=$台形$\mathrm{OABC}-$青$-$黄$-$オレンジ
になっている。

ここで、

$$ \begin{align} \text{台形}\mathrm{OABC}&=\dfrac{1}{2}\times(\mathrm{BC}+\mathrm{OA})\times \mathrm{OC}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot(4+6)\cdot 6\\ &=30 \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{青}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{AP}\times \text{青い線}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot(6-1)\cdot 6\\ &=15 \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{黄}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{OP}\times \mathrm{OQ}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot(6-2)\\ &=2 \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{オレンジ}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{BC}\times \mathrm{CQ}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\\ &=4 \end{align} $$

なので、△$\mathrm{PBQ}$の面積を$S$とすると、
$$ \begin{align} S&=30-15-2-4\\ &=9 \end{align} $$ である。

解答ア:9

別解

数Ⅱの知識を使うし、別におすすめでもないんだけど、△$\mathrm{PBQ}$の面積$S$は次のようにしても求められる。

図Bのように、点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線を引き、$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{R}$とする。

図B
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図B

図Bより
$S=$青$+$緑
である。

ここで、
青$=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{QR}\times$青い線 緑$=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{QR}\times$緑の線 なので、
$$ \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{QR}\times \text{青い線}+\dfrac{1}{2}\times \mathrm{QR}\times \text{緑の線}\\ &=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{QR}\times(\text{青い線}+\text{緑の線})\\ \end{align} $$ とかける。

いま、
青い線$+$緑の線$=\mathrm{OC}$
だから、これはさらに
$$ \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{QR}\times \mathrm{OC}\\ &=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{QR}\times 6\\ &=3\cdot \mathrm{QR}\class{tex_formula}{式A} \end{align} $$ と表せる。


というわけで、$\mathrm{QR}$、つまり点$\mathrm{R}$の$x$座標を求める。

$\mathrm{OA}$∥$\mathrm{QR}$∥$\mathrm{CB}$なので、
$$ \begin{align} \mathrm{PR}:\mathrm{BR}&=\mathrm{OQ}:\mathrm{CQ}\\ &=4:2\\ &=1:2 \end{align} $$ だ。

なので、図Bのように、点$\mathrm{R}$は$\mathrm{PB}$を
$2:1$
に内分する点だから、その$x$座標は
$\dfrac{1\times \text{点}\mathrm{P}\text{の}x\text{座標}+2\times \text{点}\mathrm{B}\text{の}x\text{座標}}{2+1}$
より
$\dfrac{1\cdot 1+2\cdot 4}{3}=3$
なので、$\mathrm{QR}$は$3$である。

さらにこの部分の別解

直線$\mathrm{BP}$の式を使って点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めると、次のようになる。

直線$\mathrm{BP}$は 点$\mathrm{B}(4,6)$,点$\mathrm{P}(1,0)$を通るので、傾きは
$\dfrac{6-0}{4-1}=2$
だ。

傾き$2$の直線が$(1,0)$を通るから、直線$\mathrm{BP}$の式は
$y-0=2(x-1)$
より
$y=2x-2$
とかける。

点$\mathrm{R}$は この直線の上にあって $y$座標が点$\mathrm{Q}$と同じ$4$なので、その$x$座標は
$2x-2=4$
より
$x=3$
だから、$\mathrm{QR}$は$3$である。

この
$\mathrm{QR}=3$
を式Aに代入すると、
$$ \begin{align} S&=3\cdot 3\\ &=9 \end{align} $$ が求められる。

解答ア:9

(2)以降もこの方法で解けるけど、長くなるので省略する。

(2)

開始時刻から3秒間について考える。
図Aの$1$,$2$を$t$,$2t$に変えると、開始してから$t$秒後の図ができる(図C)。

図C
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図C

図Cで(1)と同じように考えると、

台形$\mathrm{OABC}=30$

$$ \begin{align} \text{青}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{AP}\times\text{青い線}\\ &=\dfrac{1}{2}(6-t)\cdot 6\\ &=18-3t \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{黄}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{OP}\times \mathrm{OQ}\\ &=\dfrac{1}{2}t(6-2t)\\ &=3t-t^{2} \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{オレンジ}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{BC}\times \mathrm{CQ}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 2t\\ &=4t \end{align} $$

なので、△$\mathrm{PBQ}$の面積を$S$とすると、
$$ \begin{align} S&=30-(18-3t)-(3t-t^{2})-4t\\ &=t^{2}-4t+12\class{tex_formula}{式B} \end{align} $$ と表せる。


式Bのグラフは下に凸の放物線で、頂点の$t$座標は

復習

二次関数
$y=ax^{2}+bx+c$
の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$

より
$\dfrac{-(-4)}{2\cdot 1}=2$
となる。

いま、$t$の範囲は
$0\leqq t\leqq 3$
なので、緑の部分を定義域として、式Bのグラフは図Dのようになる。

図D
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図D

図Dより、面積$S$が

最小になるのは紫の点で、
$t=2$
のとき。

最小値は、式Bに$t=2$を代入して、
$2^{2}-4\cdot 2+12=8$
である。

解答イ:8

最大になるのは赤い点で、
$t=0$
のとき。

最大値は、式Bに$t=0$を代入して、
$12$
である。

解答ウ:1, エ:2

(3)

開始時刻から3秒間の最大値・最小値は(2)で求めたので、次に
3秒後~終了時刻
について考えよう。

終了時刻は
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に到達する 点$\mathrm{Q}$が再び点$\mathrm{C}$に戻る ときなので、開始時刻から
$6$秒後
である。

なので、ここでは、経過時間を$t$として、
$3\leqq t\leqq 6$
のときを考える(図E)。

図E
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図E

点$\mathrm{P}$は開始してから3秒後に点$\mathrm{O}$に到達し、そこで折り返すので、
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}$を出発してからの時間は$t-3$秒 である。

さらに、点$\mathrm{P}$は1秒間に2動くから、$\mathrm{OQ}$は
$2(t-3)$ となる。

これを使って 図Eで(2)と同様の作業をすると、


台形$\mathrm{OABC}$,青い三角形の面積は(2)と同じで、
台形$\mathrm{OABC}=30$ 青$=18-3t$

$$ \begin{align} \text{黄}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{OP}\times \mathrm{OQ}\\ &=\dfrac{1}{2}t\cdot 2(t-3)\\ &=t^{2}-3t \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{オレンジ}&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{BC}\times \mathrm{CQ}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot\{6-2(t-3)\}\\ &=24-4t \end{align} $$

なので、△$\mathrm{PBQ}$の面積を$S$とすると、
$$ \begin{align} S&=30-(18-3t)-(t^{2}-3t)-(24-4t)\\ &=-t^{2}+10t-12\class{tex_formula}{式C} \end{align} $$ と表せる。


以上より、面積$S$の式は、式Bと式Cから
$$ \begin{equation} S= \begin{cases} t^{2}-4t+12&(0\leqq t\leqq 3)\class{tex_formula}{式B}\\ -t^{2}+10t-12&(3\leqq t\leqq 6)\class{tex_formula}{式C} \end{cases} \end{equation} $$ であることが分かった。

式Cのグラフは上に凸の放物線で、頂点の$t$座標は
$\dfrac{-10}{2\cdot(-1)}=5$
になる。

よって、図Dに式Cのグラフを紫の線で書き加えると、図Fができる。

で考えたように、$t=1$のときの$S$は$9$だった。
式Bの放物線の軸は$t=2$だから、
軸から左に$1$の$t=1$のときに$S=9$なら、
軸から右に$1$の$t=3$のときも$S=9$
だ。

なので、式Bのグラフと式Cのグラフが変わる点の$S$座標は、計算しなくても
$9$
だと分かる。

また、緑の部分は定義域の$0\leqq t\leqq 6$だ。

図F
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図F

図Fより、$0\leqq t\leqq 6$の範囲で 面積$S$が

最小になるのは紫の点で、最小値はで求めた
$8$

解答オ:8

最大になるのは図Fの赤い点で、
$t=5$
のとき。

最大値は、式Cに$t=5$を代入して、
$-5^{2}+10\cdot 5-12=13$

解答カ:1, キ:3

である。

(4)

図Fに$S=10$の線を書き加えると、図Gのようになる。

図G
大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図G

ここでは面積$S$が$10$以下である時間を問われているので、求めるのは図Gの黄色い範囲の幅にあたる。
それを求めるために、図Gの赤い点とオレンジの点の$t$座標を計算する。


赤い点の$t$座標は、式Bに$S=10$を代入した
$t^{2}-4t+12=10$式D
を解けば求められる。

式Dより、
$t^{2}-4t+2=0$

これに解の公式を使うと

途中式 $$ \begin{align} t&=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}\\ &=\dfrac{4\pm 2\sqrt{4-2}}{2}\\ \end{align} $$ より
$t=2\pm\sqrt{2}$
となる。

この2つの解は
$2-\sqrt{2} \lt 2+\sqrt{2}$
なので、
$t=2-\sqrt{2}$が図Gの赤い点 $t=2+\sqrt{2}$が図Gの青い点 の$t$座標であることが分かる。

オレンジの点の$t$座標は、式Cに$S=10$を代入した
$-t^{2}+10t-12=10$式E
を解けば求められる。

式Eより、
$t^{2}-10t+22=0$

これに解の公式を使うと

途中式 $$ \begin{align} t&=\dfrac{10\pm\sqrt{(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 22}}{2\cdot 1}\\ &=\dfrac{10\pm\sqrt{(2\cdot 5)^{2}-4\cdot 22}}{2}\\ &=\dfrac{10\pm 2\sqrt{5^{2}-22}}{2}\\ \end{align} $$ より
$t=5\pm\sqrt{3}$
となる。

この2つの解は
$5-\sqrt{3} \lt 5+\sqrt{3}$
なので、
$t=5-\sqrt{3}$が図Gのオレンジの点 $t=5+\sqrt{3}$が図Gの紫の点 の$t$座標であることが分かる。

以上より、面積が$10$以下となる時間は、
$$ \begin{align} \text{黄色の範囲}&=\text{オレンジの点の}t\text{座標}-\text{赤い点の}t\text{座標}\\ &=(5-\sqrt{3})-(2-\sqrt{2})\\ &=3-\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{align} $$ と求められる。

解答ク:3, ケ:3, コ:2