大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学Ⅰ 第１問 [2] 解説
(1)
$a=4$，$b=5$のとき、集合$A$，$B$は表Ａのようになる。
| $U$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $A$ | ○ | ○ | ||||||
| $B$ | ○ |
表Ａより、
$A\cup B=\{4,5,8\}$
である。
解答シ：４, ス：５, セ：８
(2)
$a=2$，$b=3$のとき、集合$A$，$B$は表Ｂのようになる。
集合$\overline{B}$は表Ｂの緑の部分だ。
| $U$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $A$ | ○ | ○ | ○ | ○ | ||||
| $B$ | ○ | ○ | ○ |
表Ｂより、
$A\cap\overline{B}=\{2,4,8\}$
である。
解答ソ：２, タ：４, チ：８
(3)
(i)
ド・モルガンの法則より
$\overline{C}\cap\overline{D}=\overline{C\cup D}$
なので、
![大学入学共通テスト2024年本試 数学Ⅰ 第１問 [2] 解説図Ｃ](_image/1_1_2_01.svg)
$A\cup B=\overline{C}\cap\overline{D}$
は
$A\cup B=\overline{C\cup D}$
より
$C\cup D=\overline{A\cup B}$
とかける。
これをベン図で表すと、図Ｃのような関係である。
また、$\overline{A\cup B}$は表Ｂの$A$にも$B$にも○がない部分なので、
$\overline{A\cup B}=\{5,7\}$
だ。
よって、この問題では
$C\cup D=\{5,7\}$
になる場合を問われていることになる。
この$5$と$7$については、
$5$は$5$の倍数の集合にしか含まれない
$7$は$7$の倍数の集合にしか含まれない
から、$c$，$d$の一方は$5$，もう一方は$7$だけど、
$c \lt d$
なので、
$c=5$，$d=7$
であることが分かる。
解答ツ：５, テ：７
(ii)
図Ｃより、(i)のとき
$(A\cup B)\ \cup\ (C\cup D)\ =\ U$
が成り立っている。
よって、求める$a$，$b$，$c$，$d$は、(i)と同じ
$a=2$，$b=3$，$c=5$，$d=7$
である。
解答ト：２, ナ：３, ニ：５, ヌ：７
上の方法では(i)の結果を使って解いた。
下に、(i)を使わない解法を２つ載せておく。
ひとつは「やってみる」系の、頭よりも手を使う方法。
もうひとつは手よりも頭を使う方法だ。
別解（手を使う方法）
$A\cup B\cup C\cup D=U$
なので、
集合$U$のすべての要素が、$A$，$B$，$C$，$D$どれかの集合に含まれるようにする
という方針で考える。
もちろん。ひとつの要素が複数の集合に含まれてもかまわない。
集合$U$のすべての要素は表Ｄのとおり。
| $U$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|
このうちの最小の数である$2$に着目すると、
$2$が$A$，$B$，$C$，$D$どれかの集合に含まれるためには、$a$，$b$，$c$，$d$のどれかが$2$
でなければならない。
このとき、
$a$，$b$，$c$，$d$は集合$U$の要素なので、
$2$は$a$，$b$，$c$，$d$のうちで最小の数
問題文より、$a \lt b \lt c \lt d$
だから、
$a=2$
であることが分かる。
解答ト：２
よって、$A$は表Ｅのような集合だ。
| $U$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $A$ | ○ | ○ | ○ | ○ |
これで、表Ｅの緑の部分は、集合$A$に含まれることで解決した。
次に、未解決の赤い部分を考える。
このうちの最小の数である$3$に着目すると、
$3$が$B$，$C$，$D$どれかの集合に含まれるためには、$b$，$c$，$d$のどれかが$3$
だから、$2$のときと同様の理由で
$b=3$
であることが分かる。
解答ナ：３
表Ｅに集合$B$を書き加えると、表Ｆができる。
| $U$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $A$ | ○ | ○ | ○ | ○ | ||||
| $B$ | ○ | ○ | ○ |
ここまでで、表Ｆの緑の部分は、集合$A$または$B$に含まれることで解決した。
さらに、未解決の赤い部分を考える。
このうちの最小の数である$5$に着目して、これまでと同様に考えると、
$c=5$
であることが分かる。
解答ニ：５
表Ｆに集合$C$を書き加えると、表Ｇができる。
| $U$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $A$ | ○ | ○ | ○ | ○ | ||||
| $B$ | ○ | ○ | ○ | |||||
| $C$ | ○ |
以上で、集合$U$の要素のうち 未解決なのは表Ｇの赤い部分の$7$だけになった。
よって、
$d=7$
である。
解答ヌ：７
別解（頭を使う方法）
突然だけど、ここで素数について考えてみる。
素数とは
$2$以上の自然数で、正の約数が２個（$1$とその数自身）しかないもの
だった。
なので、$2$以上の自然数の倍数の集合を考えたとき、素数は自分自身の倍数の集合にしか含まれない。
よって、集合$U$に含まれる４つの素数について、
$2$は $2$の倍数の集合にしか含まれない。
$3$は $3$の倍数の集合にしか含まれない。
$5$は $5$の倍数の集合にしか含まれない。
$7$は $7$の倍数の集合にしか含まれない。
したがって、$A\cup B\cup C\cup D$に ４つの素数が含まれるとき、
$a$，$b$，$c$，$d$のどれかが$2$で、どれかが$3$で、どれかが$5$で、どれかが$7$
なんだけど、
$a\lt b\lt c\lt d$
だから
$a=2$，$b=3$，$c=5$，$d=7$式Ａ
であることが分かる。
また、素数でも$1$でもない自然数を合成数というけど、合成数は その数より小さい$2$個以上の素数の積の形で表せる。
なので、
集合$U$に含まれるすべての合成数（素数以外の数）は、$U$に含まれる素数の倍数
である。
したがって、
式Ａのとき、集合$U$に含まれるすべての合成数は、集合$A$，$B$，$C$，$D$の少なくとも１つに含まれる
ことが分かる。
以上より、式Ａのとき、集合$U$のすべての要素は$A\cup B\cup C\cup D$に含まれるから、
式Ａのとき $A\cup B\cup C\cup D=U$が成り立つ
といえる。
解答ト：２, ナ：３, ニ：５, ヌ：７
(iii)
アドバイス
必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$p\Rightarrow q \quad$×
$p\Leftarrow q\quad$○
なので、必要条件
みたいに解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。なので、図や表で表せるときは、集合の大小で考える方がおすすめ。
必要条件・十分条件と集合
![大学入学共通テスト2024年追試 数学Ⅰ第１問[2] 復習図Ｈ](_image/1086_01.svg)
図Ｈで、
$p$は$q$の必要条件
$q$は$p$の十分条件
である。
つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件
小さい集合は大きい集合の十分条件 である。
「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。
また、
![大学入学共通テスト2024年追試 数学Ⅰ第１問[2] 復習図Ｉ](_image/1086_02.svg)
図Ｉのように ふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件
図Ｊのように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない
![大学入学共通テスト2024年追試 数学Ⅰ第１問[2] 復習図Ｊ](_image/1086_03.svg)
![大学入学共通テスト2024年追試 数学Ⅰ第１問[2] 復習図Ｊ](_image/1086_04.svg)
ことになる。
$a=2$のとき、集合$A$は
$A=\{2,4,6,8\}$
となるので、
$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$
である。
$a\neq 2$のとき、
$a$は$2$より大きい数だから、
$2 \lt a \lt b \lt c$
となるので、$A$も$B$も$C$も$2$の倍数の集合じゃない。
$2$は$2$の倍数の集合にしか含まれない。
よって、$2$は集合$A$にも$B$にも$C$にも含まれないから、
$\{2,6,8\}\not\subset A\cup B\cup C$
である。
これを表にすると、表Ｋができる。
| $a=2$ | $a\neq 2$ |
|---|---|
| $\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ | $\{2,6,8\}\not\subset A\cup B\cup C$ |
表Ｋを見ると、
$a=2$である集合は、緑の部分
$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$である集合は、赤い部分
だから、ふたつの集合は等しい。
これは復習の図Ｉの関係なので、
$a=2$であることは $\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ であるための必要十分条件
であることが分かる。
解答ネ：２
別解
集合の大小を使わずに解くと、次のようになる。
$a=2$のとき、集合$A$は
$A=\{2,4,6,8\}$
となるので、
$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$
である。
つまり
$a=2 \Rightarrow\ \{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$
は成り立つ。
$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$のとき、
$2$は$2$の倍数の集合にしか含まれないから、
$a$，$b$，$c$のどれかが$2$
$a \lt b \lt c$なので、$a$，$b$，$c$のうちで
$2$になることができるのは$a$だけ
だから、
$a=2$
である。
つまり
$a=2 \Leftarrow\ \{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$
は成り立つ。
以上より、
$a=2 \left\{\begin{array}{l}
\Rightarrow\text{○}\\
\text{○}\Leftarrow
\end{array}\right\}\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$
なので、
$a=2$であることは $\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ であるための必要十分条件
である。
解答ネ：２
ネで考えたように、$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ が成り立つかどうかは$a$の値だけで決まる。
$b$の値は関係ない。
なので、
$b=6$であることは $\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ であるための必要条件でも十分条件でもない
といえる。
解答ノ：３
別解
$a$，$b$，$c$の数の選び方は
${}_{7}\mathrm{C}_{3}$
通りあるけど、この中には、$a=2$であるものも、$b=6$であるものも含まれる。
これをベン図にすると図Ｌのようになる。
![大学入学共通テスト2024年本試 数学Ⅰ 第１問 [2] 解説図Ｌ](_image/1_1_2_02.svg)
ネより、$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$の集合は$a=2$の集合と等しい。
よって、図Ｌにおいて、
$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$の集合は赤い部分
$b=6$の集合は緑の部分
である。
この２つの集合は 復習の図Ｊの左図と同じ関係なので、
$b=6$であることは $\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ であるための必要条件でも十分条件でもない
ことになる。
解答ノ：３