方程式
$S(x)=0$
の解は、解の公式より
$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}$
とかける。

これを計算して、求める$x$は
$$ \begin{align} x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{4(4-7)}}{2}\\ &=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{-3}}{2}\\ &=-2\pm\sqrt{3}i \end{align} $$ である。

解答コ：－, サ：２, シ：３

また、$P(x)$を$S(x)$で割ると

		$2x$	$-1$
$x^{2}+4x+7$	$)$	$2x^{3}$	$+7x^{2}$	$+10x$	$+5$
		$2x^{3}$	$+8x^{2}$	$+14x$
			$-x^{2}$	$-4x$
			$-x^{2}$	$-4x$	$-7$
					$12$

なので、
$\left\{\begin{array}{l} T(x)=2x-1\\ U(x)=12 \end{array}\right.$
となる。

解答ス：２, セ：１, ソ：１, タ：２

チだけど、問題の意味がよく分からないかも知れない。
要するに、
$\left\{\begin{array}{l} P(x)=S(x)T(x)+k\class{tex_formula}{式Ａ}\\ S(\alpha)=S(\beta)=0\class{tex_formula}{式Ｂ}\\ P(\alpha)=P(\beta)=k\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{array}\right.$
の３式について、どれを材料にしてどれが導かれているかが問われている。

それぞれの選択肢の内容を図で表すと、次のようになる。

ということで、式Ａ～式Ｃがどのように導かれるか考えよう。

以上より、
式Ａ，式Ｂは問題文から直接導かれる 式Ｃは式Ａと式Ｂから導かれる ことが分かる。

よって、選択肢のうち正しいのは
③
である。

解答チ：３

次はツ。

チが③だったから、問題文のこの部分は
「(前略) … $P(\alpha)=P(\beta)=k$となることが導かれる。したがって，余りが定数になるとき，ツが成り立つ」 となる。

つまり、ツに入るのは、式Ｃの
$P(\alpha)=P(\beta)=k$式Ｃ
から分かることだ。

なので、解答群のうち正しいのは、式Ｃの前半と同じ
①
である。

解答ツ：１

余談

解答群の他の選択肢についても説明しておくと、
⓪，②
式Ｃを求める途中、式Ｅで$T(\alpha)$，$T(\beta)$の両方とも$0$をかけて消えるから、$T(\alpha)=T(\beta)$であっても$T(\alpha)\neq T(\beta)$であっても結果には影響がない。
つまり ⓪と②のどちらでもいいので、両方とも不適
③
式Ｃと矛盾するから不適
である。

以上より、
余りが定数$\Rightarrow P(\alpha)=P(\beta)$ が成り立つ。

(ii)

次に、
余りが定数$\Leftarrow P(\alpha)=P(\beta)$ が成り立つかどうか考えよう。

$U(x)$は$x$の整式を$x$の２次式で割った余りなので、$x$の１次以下の式だ。
なので、$m$，$n$を定数として
$U(x)=mx+n$式Ｆ
とおける。

これを式Ｄに代入すると、
$P(x)=S(x)T(x)+mx+n$
とかける。

解答テ：１

これに$ x=\alpha$，$ x=\beta$を代入すると、
$\left\{\begin{array}{l} P(\alpha)=S(\alpha)T(\alpha)+m\alpha+n\\ P(\beta)=S(\beta)T(\beta)+m\beta+n \end{array}\right.$
となるけど、$S(\alpha)=S(\beta)=0$なので、これはさらに
$\left\{\begin{array}{l} P(\alpha)=m\alpha+n\\ P(\beta)=m\beta+n \end{array}\right.$式Ｇ
と表せる。

解答ト：１

今は
余りが定数$\Leftarrow P(\alpha)=P(\beta)$ が成り立つがどうか考えている。

なので、
$P(\alpha)=P(\beta)$
と仮定すると、式Ｇより
$m\alpha+n=m\beta+n$
だから
$ m\alpha=m\beta$式Ｈ
が成り立つ。

問題文より$\alpha\neq\beta$なので、式Ｈが成り立つためには
$m=0$
でなければならない。

解答ナ：３

これを式Ｆに代入すると、$U(x)$は
$$ \begin{align} U(x)&=0x+n\\ &=n \end{align} $$ となるから、$P(x)$を$S(x)$で割った余りは定数である。

したがって、
余りが定数$\Leftarrow P(\alpha)=P(\beta)$ は成り立つ。

これと、(i)で考えた
余りが定数$\Rightarrow P(\alpha)=P(\beta)$ とを合わせると、
余りが定数$\Leftrightarrow P(\alpha)=P(\beta)$ であることが分かる。

よって、
$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になることと、$P(\alpha)=P(\beta)$であることは同値である といえる。

(2)では
２次方程式$S(x)=0$が異なる２つの解$\alpha$，$\beta$をもつとき、
$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になることと、$P(\alpha)=P(\beta)$であることは同値 余りを$k$とすると、
$P(\alpha)=P(\beta)=k$式Ｃ であることが分かった。
これを使う方針で解こう。

まず、方程式$S(x)=0$の解を求める。

$$ \begin{align} S(x)&=x^{2}-x-2\\ &=(x-2)(x+1) \end{align} $$ より、方程式$S(x)=0$の解は
$x=-1,2$
だから、$S(x)=0$は異なる２つの解をもつ。

よって、式Ｃより、$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数$k$のとき、
$P(-1)=P(2)=k$式Ｉ
であるはず。

$P(-1)\text{，}P(2)$を求めると、

$$ \begin{align} P(-1)&=(-1)^{10}-2\cdot(-1)^{9}-p(-1)^{2}-5\cdot(-1)\\ &=1+2-p+5\\ &=-p+8\class{tex_formula}{式Ｊ} \end{align} $$

$$ \begin{align} P(2)&=2^{10}-2\cdot 2^{9}-p\cdot 2^{2}-5\cdot 2\\ &=-4p-10 \end{align} $$

$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になるときは この２式が等しいので、
$-p+8=-4p-10$
より
$3p=-18$
$p=-6$
であることが分かる。

解答ニ：－, ヌ：６

式Ｉより、余り$k$は$P(-1)$と$P(2)$のどちらを求めてもいい。
ここでは$P(-1)$を求めることにする。

式Ｊにニヌを代入して、求める余りは
$-(-6)+8=14$
である。

解答ネ：１, ノ：４