$1 \lt m$なので、
$$ \begin{align} y&=f(x)\\ &=3(x-1)(x-m) \end{align} $$ のグラフは$x$軸と異なる２点
$(1,0)$，$(m,0)$
で交わる、下に凸の放物線だ。

したがって、$m=2$のとき、$y=f(x)$のグラフは図Ａのようになる。

図Ａの放物線の頂点の$x$座標は、$y=f(x)$と$x$軸との２つの交点のちょうど真ん中なので
$\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}$式Ａ
となる。

いまは、$f'(x)=0$となる$x$の値を問われている。
$f'(x)$は図Ａのグラフの接線の傾きだから、$f'(x)=0$になるのは放物線の傾きが$0$になる点。
つまり、頂点の$x$座標を問われている。

よって、答えは、式Ａの
$\dfrac{3}{2}$
である。

解答ア：３, イ：２

$S(x)$を計算すると、
$$ \begin{align} \displaystyle S(x)&=\int_{0}^{x}f(t)\,dt\\ &=\int_{0}^{x}3(t-1)(t-2)\,dt\\ &=\int_{0}^{x}(3t^{2}-9t+6)\,dt\\ &=\left[t^{3}-\dfrac{9}{2}t^{2}+6t\right]_{0}^{x}\\ &=x^{3}-\dfrac{9}{2}x^{2}+6x\class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$ となる。

解答ウ：９, エ：６, オ：９, カ：２, キ：６

ここで、

復習

$a$を定数とすると
$\displaystyle \dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$

だから、
$S'(x)=f(x)$
だ。

図Ａより
$x \lt 1$のとき、$0 \lt f(x)$ $x=1$のとき、$f(x)=0$ $1 \lt x \lt 2$のとき、$f(x) \lt 0$ $x=2$のとき、$f(x)=0$ $2 \lt x$のとき、$0 \lt f(x)$ なので、$S(x)$の増減表は表Ｂのようになる。

表Ｂより、

であることが分かる。

(ii)で考えたように
$S'(x)=f(x)$
なので、
$f(3)=S'(3)$
だ。

なので、$f(3)$は
$y=S(x)$の$x=3$における接線の傾き にあたる。

よって、解答群のうち正しいのは
③
である。

解答ス：３

$S_{1}$，$S_{2}$は、図Ｃのような状態だ。

なので、

となる。

また、$S_{1}=S_{2}$は、式Ｃ$=$式Ｄより
$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=-\int_{1}^{m}f(x)\,dx$
とかける。

これを変形して、$S_{1}=S_{2}$となるのは
$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{m}f(x)\,dx=0$
より
$\displaystyle \int_{0}^{m}f(x)\,dx=0$
のときである。

解答タ：１

次に、$y=S(x)$のグラフの形を考える。

$m=2$のときの$S(x)$の増減表が表Ｂだったので、$m$のままのときの増減表は表Ｄのようになる。

さらに、タより
$$ \begin{align} S(m)&=\int_{0}^{m}f(x)\,dx\\ &=0 \end{align} $$ だから極小値$S(m)$は$0$なので、グラフは$x=m$で$x$軸に上から接する。

以上にあてはまるグラフは、選択肢のうちの
①
である。

解答チ：１

また、$S_{1} \gt S_{2}$のときには、式Ｃ$ \gt $式Ｄから
$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx \gt -\int_{1}^{m}f(x)\,dx$
なので
$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{m}f(x)\,dx \gt 0$
より
$\displaystyle \int_{0}^{m}f(x)\,dx \gt 0$
だといえる。

よって、$y=S(x)$の極小値$S(m)$は
$S(m) \gt 0$
だ。

したがって、このときの$y=S(x)$は
増減表が表Ｄ 極小値$S(m)$が正 のグラフになるので、選択肢のうちの
②
があてはまる。

解答ツ：２

$y=f(x)$のグラフは放物線で、放物線の軸は$x$軸との２つの交点の真ん中
$\dfrac{m+1}{2}$
を通る。

したがって、$y=f(x)$のグラフは、直線
$x=\dfrac{m+1}{2}$
に関して対称である。

解答テ：３

したがって、図Ｅの青い部分と赤い部分の面積は等しいから、
青い部分の面積$\displaystyle =\int_{1-p}^{1}f(x)\,dx$ 赤い部分の面積$\displaystyle =\int_{m}^{m+p}f(x)\,dx$ より
$\displaystyle \int_{1-p}^{1}f(x)\,dx=\int_{m}^{m+p}f(x)\,dx$①
が成り立つ。

解答ト：４

また、紫の部分と黄色い部分の面積も等しいので、$\dfrac{m+1}{2}=M$とおくと、
紫の部分の面積$\displaystyle =\int_{M-q}^{M}\{-f(x)\}\,dx$ 黄色い部分の面積$\displaystyle =\int_{M}^{M+q}\{-f(x)\}\,dx$ より
$\displaystyle \int_{M-q}^{M}\{-f(x)\}\,dx=\int_{M}^{M+q}\{-f(x)\}\,dx$②
が成り立つ。

解答ナ：２

さらに
$$ \begin{align} \int_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx&=\int_{0}^{\beta}f(x)\,dx - \int_{0}^{\alpha}f(x)\,dx\\ &=S(\beta)-S(\alpha) \end{align} $$ なので、

と変形できる。

ここで、２点
$(1-p,S(1-p))$，$(m+p,S(m+p))$
の中点を考える。

中点の座標は
$\left(\dfrac{(1-p)+(m+p)}{2},\dfrac{S(1-p)+S(m+p)}{2}\right)$
$\hspace{40px} =\left(\dfrac{m+1}{2},\dfrac{S(1-p)+S(m+p)}{2}\right)$
$\hspace{40px} =\left(M,\dfrac{\textcolor{red}{S(1-p)+S(m+p)}}{2}\right)$式Ｅ
とかける。

この式の赤い部分は、①'式より
$S(1-p)+S(m+p)=S(1)+S(m)$式Ｆ
と変形できる。

さらに、図Ｆのように、$1$と$m$は$M$から等距離にある。
この距離を$q$とすると、②'式より
$$ \begin{align} S(1)+S(m)&=S(M-q)+S(M+q)\\ &=2S(M) \end{align} $$ であることが分かる。

これを式Ｆに代入すると
$S(1-p)+S(m+p)=2S(M)$
なので、式Ｅの２点の中点は
$\left(M,\dfrac{2S(M)}{2}\right)=(M,S(M))$
と表せる。
これは$y=S(x)$上の点だ。

また
$M=\dfrac{m+1}{2}$
なので、式に含まれる文字は$m$だけだから、$M$は
$m$の値のみで決まる $p$の値には無関係 である。

したがって、
中点は$p$の値によらず一つに定まり、
関数$y=S(x)$のグラフ上にある ことになる。

解答ネ：２