大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試数学Ⅰ 第１問 [2] 解説

ブラウザによっては、補集合の記号（の上線部分）が表示されないことがあるようです。
この場合、拡大（Windows:Ctrl++／Mac:command++）または縮小（Windows:Ctrl+-／Mac:command+-）していただくと、正常に表示されるようです。

はじめに

集合や必要条件・十分条件の問題は、決して頭の中だけで解いてはいけない。
必ず集合を図や表で表して、目で見ながら解くことがポイントだ。

図の固定

このタイプの問題では図Ａのような数直線を描くことが多いけど、せっかくだから今回は目先を変えて表にしてみよう。
図Ａを表にすると、表Ｂのようになる。

表の固定

表Ｂ

	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$A$	○	○	○	○			○	○
$B$					○	○	○
$C$					○		○
$D$		○		○	○		○

これを使って問題を解く。

(1)

最初に、集合で使う記号の復習をしておこう。

復習

$\in$
[要素]$\in$[集合]
の形で使い、[要素]が[集合]の要素であることを示す。
例：$a\in A$（$a$は集合$A$の要素である）
$\ni$は$\in$の左右を入れ替えたもの。

$\subset$
[集合]$\subset$[集合]
の形で使い、左側の集合が右側の集合の部分集合であることを示す。
例：$A\subset B$（$A$は$B$の部分集合である）
$\supset$は$\subset$の左右を入れ替えたもの。

$\cap$ [集合]$\cap$[集合]
の形で使い、ふたつの集合の共通部分（積集合）を示す。
例：$A\cap B$（図中の斜線部分）

$\cup$ [集合]$\cup$[集合]
の形で使い、ふたつの集合をあわせた部分（和集合）を示す。
例：$A\cup B$（図中の斜線部分）

復習が終わったところで、問題に移ろう。

$\{2,3\}$サ$A\cap B$
の式は、サの左も右も集合だ。
なので、サには集合同士の関係を表す記号が入る。
つまり、解答群のうち
$\subset$，$\supset$，$=$
のどれかだ。

サの右の$A\cap B$は、集合$A$と集合$B$の共通部分。
つまり、表Ｃの赤い部分にあたる。

表の固定

表Ｃ

	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$A$	○	○	○	○			○	○
$B$					○	○	○
$A\cap B$							○

表Ｃより、
$A\cap B=\{2\}$
であることが分かる。

これは、サの左の集合
$\{2,3\}$
の部分集合だ。

よって
$\{2,3\}\supset A\cap B$
と表せるので、正解は解答群の
③
だ。

解答サ：３

$5$シ$\overline{B}$
の式の、シの左は要素、右は集合である。
なので、シには集合と要素の関係を表す記号が入る。

解答群には、集合と要素の関係の記号は
$\in$，$\ni$
の２つあるけど、この２つの使い方は
[要素]$\in$[集合]
[集合]$\ni$[要素]
なので、シに$\ni$は入らない。

よって、消去法で、正解は解答群の
⓪
しかない。

解答シ：０

別解

$\overline{B}$を求めて解くと、次のようになる。

表の固定

表Ｄ

	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$B$						○	○	○
$\overline{B}$	○	○	○	○	○				○

集合$\overline{B}$は、表Ｄの赤い部分。
要素$5$はこの集合に含まれるので、
$5\in\overline{B}$
と表せるから、正解は解答群の
⓪
である。

余談

シの式が
$\{5\}$シ$\overline{B}$
であった場合、$\{5\}$は集合なので、シには集合同士の関係を表す記号が入る。

この場合、集合$\{5\}$は集合$\overline{B}$の部分集合なので、
$\{5\}\subset\overline{B}$
となる。

$B$ス$\overline{C}=U$
の式を見ると、スの左も右も集合だ。
なので、解答群のうち
$\in$，$\ni$
は入らない。

また、式の中に$=$があるので、
$\subset$，$\supset$，$=$
も入りにくい。
とりあえず保留。

詳しく

$\subset$や$\supset$や$=$が入ると、ひとつの式に集合同士の関係を表す記号が２つあることになる。
こういう式もありだけれど、共通テストやセンター試験には出たことがないように思う。
なので、保留。
保留しないときは、次のような考え方になる。

$\subset$，$\supset$は、不等号の$ \lt $，$ \gt $をイメージすると分かりやすいかも知れない。
$X \lt Y=Z$
や
$X \gt Y=Z$
や
$X=Y=Z$
のような式も作れるから、
$ B\subset \textcolor{red}{\overline{C}=U}$
や
$ B\supset \textcolor{red}{\overline{C}=U}$
や
$B= \textcolor{red}{\overline{C}=U}$
のような式だって可能だ。

けれど、この場合、式の赤い部分の
$\overline{C}=U$
が成り立たないので、どっちにしろ不適。

残りの
$\cup$，$\cap$
が入ると考えた場合、
集合$B\cup\overline{C}$は、表Ｅの赤い部分。
集合$B\cap\overline{C}$は、表Ｅのオレンジの部分。

表の固定

表Ｂ

	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$B$						○	○	○
$C$						○		○
$\overline{C}$	○	○	○	○	○		○		○
$B\cup\overline{C}$	○	○	○	○	○	○	○	○	○
$B\cap\overline{C}$							○

赤い部分とオレンジの部分のふたつの集合のうち、全体集合$U$と等しいのは赤い部分の$B\cup\overline{C}$だ。

よって、正解は解答群の
⑤
である。

解答ス：５

(2)

いつものように、復習から。

復習

必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$p\Rightarrow q$ × $p\Leftarrow q$ ○ なので、必要条件って解くことが多い。

けれど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることも多かったりする。
なので、図や表で表せるときは、集合の大小で考える方がおすすめ。

必要条件・十分条件と集合

右図で、
$p$は$q$の必要条件 $q$は$p$の十分条件である。
つまり、片方の集合がもう片方の集合に含まれる（部分集合である）とき、
大きい集合は小さい集合の必要条件小さい集合は大きい集合の十分条件である。
「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。

右図のようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件となる。

下図のように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない。

表の固定

表Ｆ

	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$B$						○	○	○
$D$		○		○		○		○
$\overline{D}$	○		○		○		○		○
$B\cap\overline{D}$							○

表の固定

表Ｇ

	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$A$	○	○	○	○				○	○
$\overline{A}$					○	○	○

集合$B\cap\overline{D}$は、表Ｆの赤い部分集合$\overline{A}$は、表Ｇの赤い部分である。

ふたつの集合を見比べると、集合$\overline{A}$が集合$B\cap\overline{D}$を含んでいる。
復習の考え方だと、
集合$B\cap\overline{D}$が小さい集合
集合$\overline{A}$が大きい集合にあたる。

よって、
$x\in B\cap\overline{D}$は、$x\in\overline{A}$であるためのセ
は
小さい集合は大きい集合であるためのセ
なので、
十分条件であるが必要条件ではない
ことが分かる。

解答セ：１

表の固定

表Ｈ

	$-4$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$
$\overline{A}$			○	○	○
$B$				○	○	○
$\overline{A}\cup B$			○	○	○	○
$D$	○	○		○		○
$(\overline{A}\cup B)\cap D$				○		○

表の固定

表Ｉ

	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$C$						○		○

集合$(\overline{A}\cup B)\cap D$は、表Ｈの赤い部分集合$C$は表Ｉである。

見比べると、ふたつの集合は等しい。
よって、$x\in(\overline{A}\cup B)\cap D$は、$x\in C$であるための
必要十分条件である
ことが分かる。

解答ソ：２