大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試 数学ⅡB 第2問 解説

(1) (i)

この問題はグラフがなくても解けるけど、せっかくなので練習も兼ねてグラフを描こう。


$f(0)=0$
なので、$y=f(x)$のグラフは原点を通る。

$f(x)$の式を微分すると
$f'(x)=3x^{2}-k$式A
だから、$f'(x)=0$となる$x$は
$3x^{2}-k=0$
より
$\displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{k}{3}}$式B
である。

また、$f(x)$は3次関数で、$x^{3}$の係数は正。
なので、グラフは全体としては右上がりの、
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡB第2問 解説図
のような形だ。

以上より、$y=f(x)$のグラフ$C$は図Aのような形になる。

図A
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡB第2問 解説図A

アドバイス

今回は微分してグラフを描いたけど、グラフの形を知るだけなら因数分解で描いた方が早い。
方法は このページ 参照。


グラフができたところで、問題を解こう。

$f(x)$が$x=2$で極値をとるとき、
$f'(2)=0$
である。

図Aを見ると、これは極小値であることが分かる。

解答ア:0

$f'(2)=0$
なので、式Aより
$3\cdot 2^{2}-k=0$
とかける。

これを$k$について解いて、
$k=12$
である。

解答イ:1, ウ:2

さらに、$f(x)$は$x=2$で極小値をとるので、図Aより、極大値をとる$x$は
$-2$
である。

解答エ:-, オ:2

別解

エオをグラフを使わずに解くと、次のようになる。

イウを式Aに代入すると、$f'(x)$は
$f'(x)=3x^{2}-12$式A'
となる。

よって、$f(x)$が極値をとるのは
$3x^{2}-12=0$
より
$x=\pm 2$
のとき。

以上より、$f(x)$の増減表は次のようになる。

$x$$\cdots$$-2$$\cdots$$2$$\cdots$
$f'(x)$$+$$0$-$0$$+$
$f(x)$$\nearrow$極大値$\searrow$極小値$\nearrow$

増減表より、$f(x)$が極大値をとる$x$は
$x=-2$
である。

解答エ:-, オ:2

次は、$g(x)$だ。

$f(x)$の式の$x$に$(x-t)$を代入すると、$g(x)$の式ができる。
よって、
$y=f(x)$のグラフ$C$を
   $x$軸方向に$t$平行移動すると、
$y=g(x)$のグラフ$C_{1}$になる
※A
ことが分かる。

いま、極大になるときの$x$は
$f(x)$は$-2$ $g(x)$は$3$ なので、※Aより、$-2$を$t$平行移動したものが$3$だから、
$-2+t=3$
とかける。

これを整理して、
$t=5$
である。

解答カ:5

(1) (ii)

(ii)では、$t=1$、つまり、
曲線$C$を$x$軸方向に$1$平行移動すると$C_{1}$に重なる 場合を考える。

このとき、$C_{1}$の式は
$y=g(x)$
$\phantom{ y } =(x-1)^{3}-k(x-1)$
となる。

このグラフと曲線$C$が$x=-2$で交わるので、
$f(-2)=g(-2)$
より
$(-2)^{3}-k(-2)=(-2-1)^{3}-k(-2-1)$
とかける。

これを解いて、$k$は
途中式 $(-2)^{3}+2k=(-3)^{3}+3k$
$k=(-2)^{3}-(-3)^{3}$
より
$k=19$
である。

解答キ:1, ク:9

このとき、
$f(x)=x^{3}-19x$式C $g(x)=(x-1)^{3}-19(x-1)$式D となる。


さらに、$C$と$C_{1}$のもうひとつの交点の$x$座標だけど、これは両方の曲線の式の連立方程式
$y=f(x)$ $y=g(x)$ を解けばよい。

$f(x)=g(x)$
より
$g(x)-f(x)=0$式E

これに式C,式Dを代入して、
$\{(x-1)^{3}-19(x-1)\}-(x^{3}-19x)=0$
より
$(x^{3}-3x^{2}+3x-1-19x+19)-(x^{3}-19x)=0$
$-3x^{2}+3x+18=0$式E'
途中式 $x^{2}-x-6=0$
$(x+2)(x-3)=0$
なので
$x=-2$,$3$

いま問われているのは $x=-2$以外の交点なので、求める答えは
$x=3$
である。

解答ケ:3


以上より、このときの$C$と$C_{1}$は、図Bのような状態だ。

図B
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡB第2問 解説図B

この図B中の赤い部分の面積を求める。

赤い部分の面積を$S$とすると、
$S=\displaystyle \int_{0}^{3}\{\textcolor{red}{g(x)-f(x)}\}dx$
と表せるけど、この式の赤い部分は、さっきの式E→式E'の変形より
$S=\displaystyle \int_{0}^{3}(\textcolor{red}{-3x^{2}+3x+18})dx$
$\phantom{ S\displaystyle } \displaystyle =3\int_{0}^{3}(-x^{2}+x+6)dx$
とかける。

あとはこれを計算して、
$\displaystyle S=3\left[-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+6x\right]_{0}^{3}$
途中式 $\phantom{ S } \displaystyle =3\left(-\frac{1}{3}\cdot 3^{3}+\frac{1}{2}\cdot 3^{2}+6\cdot 3\right)$
$\phantom{ S } \displaystyle =3\left(-3^{2}+\frac{1}{2}\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{2}\right)$
$\phantom{ S } \displaystyle =3\cdot\frac{1}{2}\cdot 3^{2}\left(-2+1+4\right)$
$\phantom{ S } \displaystyle =\frac{3^{3}}{2} \cdot 3$
$\phantom{ S\displaystyle } \displaystyle =\frac{81}{2}$
である。

解答コ:8, サ:1, シ:2

(2) (i)

$a$,$b$と$p$,$k$の関係式を作るために
$h(x)=x^{3}+\textcolor{red}{3a}x^{2}+\textcolor{limegreen}{b}x+c$式F
と①式を比較するんだけど、式の形をそろえないと無理。
式Fは因数分解できないので、①式を展開しよう。

①式を展開して、
$h(x)=x^{3}-3px^{2}+3p^{2}x-p^{3}-kx+kp+q$
$x$について降べきの順に整理して、
$h(x)=x^{3}\textcolor{red}{-3p}x^{2}+(\textcolor{limegreen}{3p^{2}-k})x-p^{3}+kp+q$

これと式Fを比較すると
$\textcolor{red}{3a}=\textcolor{red}{-3p}$式G $\textcolor{limegreen}{b}=\textcolor{limegreen}{3p^{2}-k}$式H であることが分かる。

式Gより、
$p=-a$式G'

解答ス:-, セ:a

式Hより
$b=3p^{2}-k$

解答ソ:3

式G'を式Hに代入して
$b=3(-a)^{2}-k$
より
$k=3a^{2}-b$

解答タ:3

となる。

また、問題にあるとおり、①式に$x=p$を代入すると
$h(p)=(p-p)^{3}-k(p-p)+q$
$\phantom{ h(p) } =q$
となり、これに式G'を代入すると
$q=h(p)=h(-a)$
と表せる。


以上より、曲線$C$を平行移動すると$C_{2}$になる場合、

移動後の曲線の式を
$y=x^{3}+3ax^{2}+bx+c$
とすると、移動前の曲線の式は、
   $f(x)$の式に②式を代入した
$y=x^{3}-(3a^{2}-b)x$
とかける
          ※B

ことが分かる。

(2) (ii)

$b=3a^{2}-3$
のとき、※Bより、平行移動前の曲線$y=f(x)$は
$y=x^{3}-\{3a^{2}-(3a^{2}-3)\}x$
$\phantom{ y } =x^{3}-3x$式I
である。

解答チ:3

このとき、
$k=3$
なので、極値をとる$x$、つまり$y'=0$になる$x$は、式Bに$k=3$を代入した
$x=\pm 1$式J
である。

その極値は、式Jを式Iに代入して
$y=(\pm 1)^{3}-3\cdot(\pm 1)$
$\phantom{ y } =\pm 1\mp 3$
$\phantom{ y } =\mp 2$
である。(複合同順)

以上より、移動前の曲線$y=f(x)$と移動後の曲線$y=h(x)$をグラフにすると、図Cができる。

図C
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡB第2問 解説図C

図Cより、
$h(x)$は$f(x)$を
$x$軸方向に$5$ $y$軸方向に$1$ 式K 平行移動したものであることが分かる。

$f(x)$の極小値は
$x=1$のとき$-2$
なので、$h(x)$の極小値は、これを式Kのとおりに平行移動した
$x=6$のとき$-1$
となる。

解答ツ:6, テ:-, ト:1

(2) (iii)

解き方の方針は、

アドバイス

⓪~③を、平行移動後の曲線と考える。
※Bの考え方で、それぞれの平行移動前の式を求める。
移動前の式が同じ組合せは、平行移動して一致させることができる。

だ。

この考え方で、⓪~③についてひとつずつ計算してゆこう。


$y=x^{3}+\textcolor{red}{3a}x^{2}+\textcolor{limegreen}{b}x+c$
と、⓪の
$y=x^{3}\textcolor{limegreen}{-}x-5$
を比べると、
$a=0$ $b=-1$ であることが分かる。

よって、※Bより、移動前の式は
$y=x^{3}-\{3\cdot 0^{2}-(-1)\}x$
$\phantom{ y } =x^{3}-x$
となる。

$y=x^{3}+\textcolor{red}{3a}x^{2}+\textcolor{limegreen}{b}x+c$
と、①の
$y=x^{3}+\textcolor{red}{3}x^{2}\textcolor{limegreen}{-2}x-4$
を比べると、
$a=1$ $b=-2$ であることが分かる。

よって、※Bより、移動前の式は
$y=x^{3}-\{3\cdot 1^{2}-(-2)\}x$
$\phantom{ y } =x^{3}-5x$
となる。

$y=x^{3}+\textcolor{red}{3a}x^{2}+\textcolor{limegreen}{b}x+c$
と、②の
$y=x^{3}\textcolor{red}{-6}x^{2}\textcolor{limegreen}{-}x-4$
を比べると、
$a=-2$ $b=-1$ であることが分かる。

よって、※Bより、移動前の式は
$y=x^{3}-\{3\cdot(-2)^{2}-(-1)\}x$
$\phantom{ y } =x^{3}-13x$
となる。

$y=x^{3}+\textcolor{red}{3a}x^{2}+\textcolor{limegreen}{b}x+c$
と、③の
$y=x^{3}\textcolor{red}{-6}x^{2}+\textcolor{limegreen}{7}x-5$
を比べると、
$a=-2$ $b=7$ であることが分かる。

よって、※Bより、移動前の式は
$y=x^{3}-\{3\cdot(-2)^{2}-7\}x$
$\phantom{ y } =x^{3}-5x$
となる。


以上より、移動前の式が同じなのは
①と③
である。

なので、この2つの曲線は平行移動によって一致させることができる。

解答ナ,ニ:1,3 (順不同)