大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試 数学Ⅰ 第3問 [1] 解説

(1)

$p$を$0$でない実数として、
$f(x)=px^{2}+2px+p^{2}-3p+2$
を考える。

$f(1)$は、$f(x)$の式に$x=1$を代入して、
$f(1)=p\cdot 1^{2}+2p\cdot 1+p^{2}-3p+2$
$\phantom{ f(1) } =p^{2}+2$
である。

解答ア:2

イウを求める前に、解の公式の利用法について復習しておこう。

復習

大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 復習図

復習の青い部分を使うと、放物線$y=f(x)$の軸は
$x=\displaystyle \frac{-2p}{2\cdot p}$
$\phantom{ x } =-1$
であることが分かる。

解答イ:-, ウ:1

別解

平方完成で解くと、次のようになる。

$f(x)$の式を平方完成して、
$f(x)=p(x^{2}+2x)+p^{2}-3p+2$

途中式 $\phantom{ f(x) } =p(x^{2}+2x+1-1)+p^{2}-3p+2$
$\phantom{ f(x) } =p\{(x+1)^{2}-1\}+p^{2}-3p+2$
$\phantom{ f(x) } =p(x+1)^{2}-p+p^{2}-3p+2$
$\phantom{ f(x) } =p(x+1)^{2}+p^{2}-4p+2$
より、放物線$y=f(x)$の軸は
$x=-1$
である。

解答イ:-, ウ:1


以上より、$y=f(x)$のグラフは図Aのような状態であることが分かる。

図A
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 解説図A

二次関数のグラフは放物線の軸に関して対称なので、図Aのように、エオと$1$の真ん中が放物線の軸$x=-1$だ。
つまり、エオと$1$の平均は$-1$である。

なので、
エオ$+1$ $2$ $=-1$
より
エオ$+1=-2$
エオ$=-3$
である。

解答エ:-, オ:3

別解

エオについては、こんな計算方法もある。

エオと$-1$と$1$は等間隔なので、
$-1-$エオ$=1-(-1)$
とかける。

よって、
エオ$=-1-\{1-(-1)\}$
$\hspace{59px}=-3$
である。

解答エ:-, オ:3

(2)

次は、二次方程式の解の範囲の問題。

方程式$f(x)=0$の解は、$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標と等しい。

なので、ここで問われている
$f(x)=0$が$1$より小さい異なる2つの実数解をもつ
$x=1$を境目として、$y=f(x)$と$x$軸が境目より左の異なる2点で交わる と言いかえられる。

よって、この問題は、二次関数のグラフと$x$軸の共有点の位置の問題として考えられる。

このタイプの問題は 決まった解き方をするので憶えておこう。


復習:このタイプの問題の解き方

放物線と$x$軸との共有点が問題の条件に合うグラフを描いて、
$x$軸との共有点の個数を考える条件A 境目(この問題では$x=1$)のときのグラフの$y$座標が正か負かを考える条件B 放物線の軸が境目よりも右にあるか左にあるかを考える条件C の3つの条件すべてを満たす範囲(この問題では$p$の範囲)を求める。

この問題の条件に合うグラフは、図Bのどちらか。

図B
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 解説図B

以下、図Bの2つのグラフを、復習の考え方で ひとつずつ検討する。


$p \lt 0$のとき

まず、$p \lt 0$のとき、つまり図Bの左のグラフになる場合から。

図Bの左のグラフであるためには、境目の$x=1$のときに$y \lt 0$でないといけない(復習の条件B)。
式にすると
$f(1) \lt 0$式A
でなければならない。

ところが、を求めたときに気づいたかも知れないけれど、
$f(1)=p^{2}+2$
だから、
$f(1) \gt 0$式B
だ。

詳しく $p\neq 0$
より
$p^{2} \gt 0$
なので、
$p^{2}+2 \gt 2$
とかける。
よって、
$f(1) \gt 2$
だと言えるけど、この問題では
$f(1) \gt 0$
が分かれば十分なので、式Bでは
$f(1) \gt 0$式B
とした。

なので、式Aは成り立たないから、$y=f(x)$のグラフが図Bの左のような状態になることはない。
よって、$p \lt 0$のとき、$f(x)=0$が1より小さい異なる2つの実数解をもつことはない。


$0 \lt p$のとき

次に、$0 \lt p$のとき、つまり図Bの右のグラフになるときの、復習の3つの条件を考える。

条件A

$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる2点で交わるので、$f(x)$の判別式は正だから、
$(2p)^{2}-4p(p^{2}-3p+2) \gt 0$
でなければならない。

これを整理すると

途中式 $p^{2}-p(p^{2}-3p+2) \gt 0$
$-p^{2}+p(p^{2}-3p+2) \lt 0$
$p(-p+p^{2}-3p+2) \lt 0$
$p(\textcolor{red}{p^{2}-4p+2}) \lt 0$
となる。

今は$0 \lt p$のときを考えているので、上の式が成り立つためには、赤い部分が負であればよい。
つまり
$p^{2}-4p+2 \lt 0$式C
であればよい。

式Cの左辺は因数分解出来ないので、解の公式だ。
$p^{2}-4p+2=0$
となる$p$は、解の公式より
$p=\displaystyle \frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}$
$\phantom{ p\displaystyle } \displaystyle =\frac{4\pm\sqrt{4(4-2)}}{2}$
$\phantom{ p } =2\pm\sqrt{2}$
だから、式Cを満たす、つまり条件Aを満たす$p$の範囲は
$2-\sqrt{2} \lt p \lt 2+\sqrt{2}$式D である。

条件B

図Bの右のグラフを見ると、境目の$x=1$のとき
$y \gt 0$
なので、条件Bを表す式は
$f(1) \gt 0$
とかけるけど、式Bより これは必ず成り立つ。

よって 条件Bは必ず成り立つ。

条件C

図Bの右のグラフを見ると、放物線の軸は 境目の$x=1$よりも左になければならない。

イウより、放物線の軸は
$x=-1$
だったけど、これが$x=1$より左にあるのは明らか。

よって 条件Cも必ず成り立つ。

以上より、復習の3つの条件と 場合分けの$0 \lt p$を数直線に表すと、図Cのようになる。
必ず成り立つ条件B,条件Cは省略してある。
図Cで、場合分けと条件Aが重なる赤い部分が求める$p$の範囲だ。

図C
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 解説図C

図Cより、求める$p$の範囲は、式Dと同じ $2-\sqrt{2} \lt p \lt 2+\sqrt{2}$式D である。

解答カ:2, キ:2

(3)

(3)で求めるのは、方程式$f(x)=0$が
$1$より小さい2つの異なる実数解をもち、 ひとつの解は正、もうひとつは負 であるような$p$の範囲だ。

このうち、①を満たす$p$の範囲は、(2)で求めたように
$2-\sqrt{2} \lt p \lt 2+\sqrt{2}$式D だった。

なので、②を満たす$p$の範囲が分かれば、それと式Dの重なる範囲がである。


ということで②を考えるんだけど、(2)の作業から、$p \lt 0$の場合には①を満たさないことが分かっている。
よって、$0 \lt p$のときだけを考えよう。

②をグラフでいうと、放物線$f=f(x)$が、$y$軸の左右で$x$軸と交わる場合。
図にすると、図Dのような場合だ。
$0 \lt p$のときだけを考えるので、放物線は下に凸である。

図Dのようなグラフになるためには、放物線と$y$軸が$y \lt 0$の部分で交わればよい。

図D
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 解説図D

なので
$f(0) \lt 0$
であればよいから、
$p^{2}-3p+2 \lt 0$
とかける。

これを解いて、
$(p-1)(p-2) \lt 0$
より、②を満たす$p$の範囲は
$1 \lt p \lt 2$
となる。


以上より、①,②を満たす$p$の範囲を数直線に表すと、図Eができる。

図E
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 解説図E

図Eより、求める ①,②をともに満たす$p$の範囲は、赤線部分の
$1 \lt p \lt 2$
である。

解答ク:1, ケ:2

(4)

最後は、方程式$f(x)=0$の解の存在範囲を答える問題。
解説は長いけれど、やっていることは大したことないので 頑張ってついてきてほしい。


まず$ 1 \lt \beta$から片付けよう。

図F
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 解説図F

イウより、放物線の軸は$x=-1$なので、$ 1 \lt \beta$のときの$y=f(x)$のグラフは、図Fのどちらか。

だけど、式Bで、$p$の値にかかわらず
$f(1) \gt 0$式B
であることが分かっているから、図Fの右のグラフは不適だ。

また、図Fの左のグラフ($p \lt 0$)のときは、
$f(1) \gt 0$式B
なので、$y=f(x)$と$x$軸は$1 \lt x$の部分で必ず交わる。
したがって、必ず
$1 \lt \beta$
となるから、問題の条件に合う。

そのため、$p \lt 0$の場合だけを考える。


式Bより $f(1) \gt 0$ エオより $f(-3)=f(1)$ なので、
$f(-3) \gt 0$
だ。

よって、$p \lt 0$のときの$y=f(x)$のグラフを描くと 図Gのようになる。
$y=f(x)$と$x$軸との交点のうち、$x$座標が$\alpha$の方を点Aとする。

図G
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅰ第3問[1] 解説図G

$p$の値が変われば点Aの位置は変わるけど、図Gより、$p$の値にかかわらず 点Aは$x=-3$より左にある。
つまり、$p$の値に関係なくつねに
$\alpha \lt -3$
だ。

この両辺を$2$倍すると
$2\alpha \lt -6$
だから、
$-6$は$m$である。

これをそのまま
コサ$=-6$
と早合点してはいけない。
問われているのは$m$の最小値だ。

詳しく $m$は整数だけど、ひとつの値じゃなくて、整数の集合だと考えよう。
例えば、図Gを見ると
$\alpha \lt -1$
なので
$2\alpha \lt -2$
$\alpha \lt 0$
なので
$2\alpha \lt 0$
$\alpha \lt 1$
なので
$2\alpha \lt 2$
だから、$-2$も$0$も$2$も$m$だし、もっと他にも$m$はたくさんある。
ここで問われているのは、たくさんある$m$の中で一番小さい数だ。

というわけで、$-6$より小さい$m$を探す。

回答欄はコサで、にはマイナスが入るから、答えの候補は
$-6$,$-7$,$-8$,$-9$
の4つしかない。
このうち $-6$が$m$であるのは分かっているので、$m$かどうか分からないのは残りの3つだ。
わずか3つだし、考えるよりも手を動かした方が早い。
ひとつずつ確認しよう。


$-7$

$-7$が$m$に含まれるなら、$p$の値に関係なくつねに
$2\alpha \lt -7$
なので
$\displaystyle \alpha \lt -\frac{7}{2}$
だ。

このとき、$y=f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{7}{2}$より左で$x$軸と交わるから、$p$の値に関係なくつねに
$\displaystyle 0 \lt f\left(-\frac{7}{2}\right)$式E でないといけない。

$\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right)$は、$y=f(x)$に$x=-\displaystyle \frac{7}{2}$を代入して、

途中式 $\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) =p\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}+2p\left(-\frac{7}{2}\right)+p^{2}-3p+2$
$\displaystyle \phantom{ f\left(-\frac{7}{2}\right) } \displaystyle =\frac{49}{4}p-7p+p^{2}-3p+2$
$\displaystyle \phantom{ f\left(-\frac{7}{2}\right) } \displaystyle =p^{2}+\left(\frac{49}{4}-7-3\right)p+2$
より
$\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) =p^{2}+\frac{9}{4}p+2$式F
である。

式Fを平方完成すると

途中式 $\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) =p^{2}+\frac{9}{4}p+\left(\frac{9}{8}\right)^{2}-\left(\frac{9}{8}\right)^{2}+2$
$\displaystyle \phantom{f\left(-\frac{7}{2}\right)} =\left(p+\frac{9}{8}\right)^{2}+\frac{-9^{2}+2\cdot 8^{2}}{8^{2}}$
より
$\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) =\left(p+\frac{9}{8}\right)^{2}+\frac{47}{8^{2}}$
となるから、$p$の値に関係なくつねに式Eは成り立つ。

この部分の別解

式Fの判別式$D$は

途中式 $\displaystyle D=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 2$
$\phantom{ D\displaystyle } \displaystyle =\frac{81}{16}-8$
より
$D \lt 0$
なので、$p$がどんな値をとっても$\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) =0$にはならない。

つまり、$p$の値にかかわらず
$\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) \gt 0$ または $\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) \lt 0$
のどちらかだけど、式Fの$p$に何か適当な値を代入すると
$\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) \gt 0$
だから、$p$の値にかかわらず $\displaystyle f\left(-\frac{7}{2}\right) \gt 0$ であることが分かる。

したがって、$p$の値に関係なくつねに式Eは成り立つ。

よって、
$-7$は$m$である。

$-8$

$-8$が$m$に含まれるなら、$p$の値に関係なくつねに
$2\alpha \lt -8$
なので
$\displaystyle \alpha \lt -4$
だ。

このとき、$y=f(x)$は$x=-4$より左で$x$軸と交わるから、$p$の値に関係なくつねに
$0 \lt f(-4)$式G でないといけない。

$f(-4)$は、$y=f(x)$に$x=-4$を代入して、

途中式 $f(-4)=p(-4)^{2}+2p(-4)+p^{2}-3p+2$
$\phantom{ f(-4) } =16p-8p+p^{2}-3p+2$
より
$f(-4)=p^{2}+5p+2$
となる。

この式の判別式$D$は
$D=5^{2}-4\cdot 1\cdot 2 \gt 0$
だから、$p$の値によっては$f(-4)=0$となることがある。
したがって、$p$の値に関係なくつねに式Gが成り立つわけではない。

よって、
$-8$は$m$ではない。

$-9$

$-8$での作業より、点Aは$x=-8$より必ず左にあるわけではない。
よって、点Aは$x=-9$より必ず左にあるわけではないから、
$-9$も$m$ではない。


以上より、$m$の最小値コサ
コサ$=-7$
である。

解答コ:-, サ:7