大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試 数学ⅡＢ 第５問 解説

(1)

図Ａ
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡＢ第５問 解説図Ａ

図Ａ中の四角形はすべてひし形で 向かい合う辺は平行で長さが等しいから、同一ベクトルだ。
つまり、同じ色のベクトルはすべて等しい。

なので、図Ａの
紫のベクトル$=\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=\textcolor{darkmagenta}{(1,0,a)}$ オレンジのベクトル$=\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}=\textcolor{chocolate}{(0,1,a)}$ 青いベクトル$=\textcolor{royalblue}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{3}}}}=\textcolor{royalblue}{(-1,0,a)}$ 緑のベクトル$=\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{4}}}}=\textcolor{green}{(0,-1,a)}$ と表せる。

よって、

$\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}=\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}+\textcolor{royalblue}{\overrightarrow{\mathrm{A_{2} B_{2}}}}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}} } =\textcolor{chocolate}{(0,1,a)}+\textcolor{royalblue}{(-1,0,a)}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}} } =(-1,1,2a)$
より、点$\mathrm{B}_{2}$の座標は
$(-1,1,2a)$

解答ア：１, イ：2, ウ：ａ

$\overrightarrow{\mathrm{OC_{3}}}=\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}+\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OC_{3}}} } =(-1,1,2a)+\textcolor{green}{(0,-1,a)}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OC_{3}}} } =(-1,0,3a)$
より、点$\mathrm{C}_{3}$の座標は
$(-1,0,3a)$

解答エ：０, オ：３, カ：ａ

である。

また、

$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}=\textcolor{darkmagenta}{(1,0,a)}\cdot(-1,1,2a)$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OA_{1}} }\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}} } =1\cdot(-1)+0\cdot 1+a\cdot 2a$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OA_{1}} }\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}} } =2a^{2}-1$

解答キ：８

$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}} \cdot \textcolor{green}{ \overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}=\textcolor{darkmagenta}{(1,0,a)}\cdot\textcolor{green}{(0,-1,a)}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}} } =1\cdot 0+0\cdot(-1)+a\cdot a$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}} } =a^{2}$

解答ク：３

となる。

さらに
$\left| \textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}} \right| = \left| \textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{4}}}} \right|$ $\angle \mathrm{A_{1}OA_{2}} = \angle \mathrm{A_{1}OA_{4}}$ なので、計算しなくても、クより
$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}=\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}} \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{4}}}}$
$\phantom{ \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}} }=a^{2}$式Ａ
だと分かる。

同様に
$\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}\cdot\textcolor{royalblue}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{3}}}}=\textcolor{royalblue}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{3}}}} \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{4}}}}=a^{2}$
であることも分かる。
この問題では使わないけれど。

(2)

図Ｂ
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡＢ第５問 解説図Ｂ

図Ｂ中の緑のひし形と黄色いひし形が合同になるのは、
パターンＡ $\mathrm{A_{1} A_{2}}$（赤い線）と$\mathrm{B_{4} B_{1}}$（ピンクの線）が対応する場合 パターンＢ $\mathrm{A_{1} A_{2}}$（赤い線）と$\mathrm{A_{1} C_{1}}$（青い線）が対応する場合 の２通りが考えられる。

なので、いま必要なのは
$\mathrm{A_{1} A_{2}}$（図Ｂの赤い線） $\mathrm{B_{4} B_{1}}$（ピンクの線） $\mathrm{A_{1} C_{1}}$（青い線） の長さだ。

$\mathrm{A_{1} A_{2}}$（赤い線）は、
$\overrightarrow{\mathrm{A_{1} A_{2}}}=\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}-\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{A_{1} A_{2}}} } =\textcolor{chocolate}{(0,1,a)}-\textcolor{darkmagenta}{(1,0,a)}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{A_{1} A_{2}}} } =(-1,1,0)$
とかけるから、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{A_{1} A_{2}}}\right|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}}$
$\phantom{ \left|\overrightarrow{\mathrm{A_{1} A_{2}}}\right| } =\sqrt{2}$
より
赤$=\sqrt{2}$

$\mathrm{B_{4} B_{1}}$（ピンクの線）は、
$\overrightarrow{\mathrm{B_{4} B_{1}}}=\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{A_{1} B_{1}}}} - \textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{A_{1} B_{4}}}}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{B_{4} B_{1}}} } = \textcolor{chocolate}{(0,1,a)}-\textcolor{green}{(0,-1,a)}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{B_{4} B_{1}}} } =(0,2,0)$
より
ピンク$=2$

$\mathrm{A_{1} C_{1}}$（青い線）は、
$\overrightarrow{\mathrm{A_{1} C_{1}}}=\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{A_{1} B_{1}}}}+\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{1} C_{1}}}}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{A_{1} C_{1}}} } =\textcolor{chocolate}{(0,1,a)}+\textcolor{green}{(0,-1,a)}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{A_{1} C_{1}}} } =(0,0,2a)$
より
青$=2a$

である。

よって、
赤$\neq$ピンク
だから、パターンＡは不適だ。
パターンＢだけ考えよう。

パターンＢのとき、
赤$=$青
なので、
$\sqrt{2}=2a$
より
$a=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
となる。

解答ケ：２, コ：２

図Ｃ
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡＢ第５問 解説図Ｃ

さらに、$\mathrm{OA}_{1}$上に 点$\mathrm{P}$を $\angle \mathrm{OPA}_{2}=90^{\circ}$となるようにとると、$s$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$式Ｂ $\overrightarrow{\mathrm{PA_{2}}}\cdot\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=0$式Ｃ とかける。

$\overrightarrow{\mathrm{PA_{2}}}=\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
だけど、これに式Ｂを代入すると
$\overrightarrow{\mathrm{PA_{2}}}=\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}-s\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$
と表せる。

これを式Ｃに代入すると
$\left( \textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}} -s\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\right) \cdot \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=0$
より
$\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}} \cdot \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}} - s\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}} \cdot \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=0$式Ｄ
という式ができる。

この式のそれぞれの項は、
$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}} \cdot \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=\textcolor{darkmagenta}{(1,0,a)}\cdot\textcolor{darkmagenta}{(1,0,a)}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}} } =1^{2}+0^{2}+a^{2}$
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}} } =a^{2}+1$ 式Ａより
$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}=a^{2}$ だ。

これにケコの
$a=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
を代入して、
$\displaystyle \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+1=\frac{3}{2}$ $\displaystyle \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{chocolate}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{2}}}}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$ である。

解答サ：３, シ：２, ス：１, セ：２

これを式Ｄに代入すると、
$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{3}{2}s=0$
より
$s=\displaystyle \frac{1}{3}$
であることが分かる。

解答ソ：１, タ：３

(3)

いま、
四角形$\mathrm{O A_{1} B_{1} A_{2}}$ ≡ 四角形$\mathrm{O A_{1} B_{4} A_{4}}$
なので、
△$\mathrm{OPA}_{2}$ ≡ △$\mathrm{OPA}_{4}$
より
$\angle \mathrm{OPA_{2}}=\angle \mathrm{OPA_{4}}=90^{\circ}$
である。

よって、３点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}_{2}$，$\mathrm{A}_{4}$を通る平面を$\alpha$とすると、
$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$ ⊥ $\alpha$ となる。
（ベクトルと平面の垂直に関しては このページ 参照。）

このことから、直線$\mathrm{B_{2} C_{3}}$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{Q}$とすると、
$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$
より
$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}=0$式Ｅ
と表せる。

図Ｄ
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡＢ第５問 解説図Ｄ

式Ｅの赤い部分は図Ｄの赤いベクトルで、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$式Ｆ
とかけるけど、ソタより
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{3}\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$
なので、式Ｆは
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\frac{1}{3}\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$式Ｆ'
となる。

また、$t$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{B_{2} Q}}=t\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}$式Ｇ
とおくと
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}+t\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}$式Ｈ
といえる。

式Ｈを式Ｆ'に代入して、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}+t\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}-\frac{1}{3}\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}$
これを式Ｅに代入して、
$\displaystyle \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}+t\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}-\frac{1}{3}\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\right)=0$
より
$\displaystyle \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}+t\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}-\frac{1}{3}\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=0$式Ｉ
とかける。

ここで、
キより、$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB_{2}}}=2a^{2}-1$ クより、$\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}=a^{2}$ サシより、$\displaystyle \textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}\cdot\textcolor{darkmagenta}{\overrightarrow{\mathrm{OA_{1}}}}=\frac{3}{2}$ なので、式Ｉは
$2a^{2}-1+ta^{2}-\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=0$式Ｉ'
となる。

さらに、ケコより
$a=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
なので、式Ｉ'は
$2\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-1+t\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=0$
と表せる。

これを解いて、
$2\displaystyle \cdot\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0$
$2-2+t-1=0$
$t=1$
である。

解答チ：１

図Ｅ
大学入学共通テスト2022年追試 数学ⅡＢ第５問 解説図Ｅ

このとき、式Ｇは
$\overrightarrow{\mathrm{B_{2} Q}}=\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}$
となるから、図Ｅのように、点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{C}_{3}$と一致する。

つまり、点$\mathrm{C}_{3}$は平面$\alpha$上にある。

解答テ：０

さらに、図Ｅより
点$\mathrm{C}_{3}$，$\mathrm{A}_{4}$は平面$\alpha$上にある $\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{B_{2} C_{3}}}}=\textcolor{green}{\overrightarrow{\mathrm{O A_{4}}}}$ であるから、
$\mathrm{A}_{4}$から見た$\mathrm{O}$と$\mathrm{C}_{3}$から見た$\mathrm{B}_{2}$は、同じ方向・同じ距離にある ことが分かる。

また、
点$\mathrm{O}$は平面$\alpha$上にない。

以上より、点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}_{2}$は、平面$\alpha$から見て同じ側にある（平面$\alpha$上を含まない）。

解答ツ：１