大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試数学Ⅱ 第３問 [2] 解説

(1)

最初に、グラフの移動について復習をしておこう。

グラフの移動の復習

平行移動

図Ａのように、グラフ$y=f(x)$の
$x$を$(x-p)$に変えると、グラフは$x$軸方向に$p$平行移動 $y$を$(y-q)$に変えると、グラフは$y$軸方向に$q$平行移動する。

軸に関して対称移動

図Ｂのように、グラフ$y=f(x)$の
$x$を$(-x)$に変えると、グラフは$y$軸に関して対称移動 $y$を$(-y)$に変えると、グラフは$x$軸に関して対称移動する。
よって、
$x$を$(-x)$に、$y$を$(-y)$に変えると、グラフは$y$軸と$x$軸両方に関して対称移動するから、原点に関して対称になる。

$y=x$に関して対称移動

図Ｃのように、グラフ$y=f(x)$の
$x$と$y$を入れかえると、グラフは$y=x$に関して対称移動する。

$\displaystyle \frac{2}{3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$
なので、
$\displaystyle y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$
は
$y=\displaystyle \left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\right\}^{x}$
$\phantom{ y } =\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{-x}$
と変形できる。

この式は、
$y=\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{x}$
の$x$を$-x$に変えたもの。

よって、復習より、
$y=\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{x}$のグラフと$y=\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{x}$のグラフは$y$軸に関して対称である。

解答ク：１

さらに、指数と対数の関係について復習だ。

復習

$\log_{a}b=c \Leftrightarrow\ a^{c}=b$
（$0 \lt a$，$0 \lt b$）

復習より
$y=\displaystyle \log_{\frac{3}{2}}x$
は
$x=\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{y}$
と変形できる。

この式は、
$y=\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{x}$
の$x$と$y$を入れかえたもの。

よって、グラフの移動の復習より、
$y=\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{x}$のグラフと$y=\displaystyle \log_{\frac{3}{2}}x$のグラフは$y=x$に関して対称である。

解答ケ：２

(2)

せっかくだから、対数関数の形の復習もしておこう。

復習

$y=\log_{a}x$のグラフは、次のような形だ。

$y=\displaystyle \frac{1}{2}$のとき、
$y=\log_{25}x$
は
$\displaystyle \frac{1}{2}=\log_{25}x$
とかける。

これを変形すると
$x=25^{\frac{1}{2}}$
$\phantom{ x } =\sqrt{25}$
$\phantom{ x } =5$
となる。

よって、$y=\log_{25}x$のグラフは、点
$\displaystyle \left(5,\frac{1}{2}\right)$
を通る。

解答コ：５

また、$1 \lt 25$なので、$y=\log_{25}x$のグラフは復習の右側のグラフのような形だ。

よって、このグラフは
$x$の値が増加すると$y$の値も増加する $x=1$の１点で$x$軸と交わることが分かる。

解答サ：１

$y=\displaystyle \frac{1}{2}$のとき、
$y=\log_{\frac{1}{4}}x$
は
$\displaystyle \frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{4}}x$
とかける。

これを変形すると
$x=\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$\phantom{ x } =\displaystyle \sqrt{\frac{1}{4}}$
$\phantom{ x } \displaystyle =\frac{1}{2}$
となる。

よって、$y=\log_{\frac{1}{4}}x$のグラフは、点
$\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
を通る。

解答シ：１, ス：２

また、$\displaystyle \frac{1}{4} \lt 1$なので、$y=\log_{\frac{1}{4}}x$のグラフは復習の左側のグラフのような形だ。

よって、このグラフは
$x$の値が増加すると$y$の値は減少する $x=1$の１点で$x$軸と交わることが分かる。

解答セ：３

まず、$\displaystyle \frac{1}{2}$と$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2}$の大小から考えるんだけど、
コより
$\displaystyle \frac{1}{2}=\log_{25}5$式Ａ
なので、代わりに
$\log_{25}5$と$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2}$を比べよう。

サより、$y=\log_{25}x$のグラフは、$x$が大きいほど$y$も大きい。
よって、$\log_{25}5$と$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2}$は、真数部分が大きい$\log_{25}5$の方が大きい値だから、
$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2} \lt \log_{25}5$
であることが分かる。

これに式Ａを代入して、
$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2} \lt \frac{1}{2}$ である。

$\displaystyle \frac{1}{2}$と$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}$の大小も、同様に
シスより
$\displaystyle \frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2}$式Ｂ
なので、代わりに
$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2}$と$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}$を比べよう。

セより、$y=\log_{\frac{1}{4}}x$のグラフは、$x$が大きいほど$y$は小さい。
よって、$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2}$と$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}$は、真数部分が大きい$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2}$の方が小さい値だから、
$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2} \lt \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}$
であることが分かる。

これに式Ｂを代入して、
$\displaystyle \frac{1}{2} \lt \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}$ である。

以上より、３つの数の大小関係は
$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2} \lt \frac{1}{2} \lt \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}$ である。

解答ソ：３

別解

グラフを使わずに解くと、次のようになる。
こっちの解き方の方が自然かも。

$1 \lt 25$なので、
$\displaystyle \frac{7}{2} \lt 5$
から
$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2} \lt \log_{25}5$
とかける。

これに、コで考えた
$\displaystyle \log_{25}5=\frac{1}{2}$
を代入すると
$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2} \lt \frac{1}{2}$ と表せる。

$\displaystyle \frac{1}{4} \lt 1$なので、
$\displaystyle \frac{3}{8} \lt \frac{1}{2}$
から
$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8} \gt \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2}$
とかける。

これに、シスで考えた
$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
を代入すると
$\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8} \gt \frac{1}{2}$ と表せる。

以上より、３つの数の大小関係は
$\displaystyle \log_{25}\frac{7}{2} \lt \frac{1}{2} \lt \log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}$ である。

解答ソ：３