である。

また、$P(x)$に$x=i$を代入すると、
$p(i)=i^{4}-4i^{3}+4i^{2}+12i-21$
なので、
$p(i)=1-4(-i)+4\cdot(-1)+12i-21$
$\phantom{ p(i) } =1+4i-4+12i-21$
$\phantom{ p(i) } =-24+16i$
となる。

解答ウ：－, エ：２, オ：４, カ：１, キ：６

$P(x)$を$Q(x)$で割ると

		$x$	$+2$
$x^{3}-6x^{2}+15x-14$	$)$	$x^{4}$	$-4x^{3}$	$+4x^{2}$	$+12x$	$-21$
		$x^{4}$	$-6x^{3}$	$+15x^{2}$	$-14x$
			$2x^{3}$	$-11x^{2}$	$+26x$
			$2x^{3}$	$-12x^{2}$	$+30x$	$-28$
				$x^{2}$	$-4x$	$+7$

なので、商は
$x+2$
余り$R(x)$は
$R(x)=x^{2}-4x+7$式Ａ
となる。

解答ク：４, ケ：７

また、$P(x)$，$Q(x)$，$R(x)$の関係は
$P(x)=Q(x)(x+2)+R(x)$①
と表せる。

解答コ：２

$P(\alpha)=Q(\alpha)=0$
のとき、①は
$(\alpha+2)\times 0+R(\alpha)=0$
となるから、
$R(\alpha)=0$
だ。

解答サ：０

これを式Ａに代入すると
$\alpha^{2}-4\alpha+7=0$
とかける。

このときの$\alpha$は、解の公式より、
$\displaystyle \alpha=\frac{4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}$
$\phantom{ \alpha } =2\pm\sqrt{4-7}$
$\phantom{ \alpha } =2\pm\sqrt{3}i$②
である。

解答シ：２, ス：３

ここまでで
$P(\alpha)=Q(\alpha)=0$であるためには、②でなければならない ことが分かった。

ここからは
②であれば、$P(\alpha)=Q(\alpha)=0$である が成り立つかどうかを考える。

まず、$Q(x)$を$R(x)$で割る。
クケを求めたときみたいに筆算してもいいんだけど、今はセだけ分かればいいので、時間節約のためにかけ算だ。

$Q(x)=R(x)(x-$セ$)$式Ｂ
の両辺の定数項だけを考える。

$Q(x)=x^{3}-6x^{2}+15x-14$
だから、式Ｂの左辺の定数項は
$-14$

$R(x)=x^{2}-4x+7$
だから、式Ｂの右辺の定数項は
$7\times(-$セ$)$

この２つが等しいので、
$7\times(-$セ$)=-14$
より
セ$=2$
であることが分かる。

解答セ：２

よって
$Q(x)=R(x)(x-2)$
なので、$x$が②の$\alpha$のとき
$Q(\alpha)=(x-2)\times 0$
$\phantom{ Q(\alpha) } =0$
である。

さらに、これを①に代入すると
$P(\alpha)=(x+2)\times 0+0$
$\phantom{ P(\alpha) } =0$
となる。

したがって、
②であれば、$P(\alpha)=Q(\alpha)=0$である ことが分かる。

$S(x)$，$T(x)$を使って、(2)と同様の作業をする。

$S(x)=T(x)x+x^{2}+$タ$x+$チ式Ｃ
は
$x^{2}+$タ$x+$チ$=S(x)-T(x)x$
と変形できる。

これに$S(x)$，$T(x)$を代入すると、
$x^{2}+$タ$x+$チ$=x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+3x+3$
$\hspace{176px}-(x^{3}+2x^{2}+3x+1)x$
$\hspace{138px}=x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+3x+3$
$\hspace{176px}-(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+x)$
$\hspace{138px}=x^{2}+2x+3$
となる。

解答タ：２, チ：３

したがって、$S(x)$を$T(x)$で割った余りを$U(x)$とすると、
$U(x)=x^{2}+2x+3$
であり、式Ｃは
$S(x)=T(x)x+U(x)$式Ｃ'
とかける。

$S(\beta)=T(\beta)=0$のとき、式Ｃ'は
$0\times\beta+U(\beta)=0$
となるので、$U(\beta)$は必ず$0$だ。

よって、
$S(\beta)=T(\beta)=0$であるためには、$U(\beta)=0$でなければならない ことになる。

ここで、$T(x)$を$U(x)$で割ると、

		$x$
$x^{2}+2x+3$	$)$	$x^{3}$	$+2x^{2}$	$+3x$	$+1$
		$x^{3}$	$+2x^{2}$	$+3x$
					$1$

なので、
$T(x)=U(x)x+1$
と表せる。

よって、
$U(\beta)=0$のとき、$T(x)=0$にはならない ことになる。