ここで、漸化式の基本の形の復習をしておこう。

復習

２項間漸化式の基本の形は４つあって、
$p_{n+1}=p_{n}+d$
公差$d$の等差数列 $p_{n+1}=rp_{n}$
公比$r$の等比数列 $p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$ $ p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
$(p_{n+1}-\gamma)=\alpha(p_{n}-\gamma)$の形にして解く だった。

式Ａは赤い部分が$n$の式、つまり$f(n)$なので、復習の３番目の形だ。
よって、式Ａの赤い部分を階差数列の一般項として、$\{a_{n}]$の一般項を求める。

ついでに階差数列の復習もしておこう。

復習

数列$\{p_{n}\}$の階差数列が$\{q_{n}\}$のとき、
$\{p_{n}\}$の一般項$p_{n}$は、$\{q_{n}\}$の一般項$q_{n}$を使って
$p_{n}=p_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}q_{k} \hspace{30px} (2\leqq n)$
と表せる。

復習より、$2\leqq n$のとき、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(4k+2)$
とかける。

これに$a_{1}=1$を代入して計算すると、
$a_{n} \displaystyle =1+4\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}2$
$\phantom{ a_{n}\displaystyle } \displaystyle =1+4\cdot\frac{1}{2}(n-1)n+2(n-1)$
$\phantom{ a_{n} } =1+2(n-1)(n+1)$
より
$a_{n}=2n^{2}-1$
となる。

これは$n=1$のときも成り立つ。

解答イ：２, ウ：１

また、$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和$S_{n}$は、
$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}$
より

$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k^{2}-1)$

途中式

$\phantom{ S_{n}\displaystyle } \displaystyle =2\sum_{k=1}^{n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n}1$
$\phantom{ S_{n}\displaystyle } \displaystyle =2\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-n$
$\phantom{ S_{n}\displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{3}n\{(n+1)(2n+1)-3\}$
$\phantom{ S_{n}\displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{3}n(2n^{2}+3n-2)$

なので

$S_{n}=\displaystyle \frac{2n^{3}+3n^{2}-2n}{3}$
である。

解答エ：２, オ：３, カ：２, キ：３

次は、$a_{n}-b_{n}$だ。

式Ａから式Ｂを辺々引くと、

	$a_{n+1}$	$=$	$a_{n}$	$+4n$	$+2$
$-)$	$b_{n+1}$	$=$	$b_{n}$	$+4n$	$+2$	$+2\cdot(-1)^{n}$
$a_{n+1}-b_{n+1}$		$=$	$a_{n}-b_{n}$			$-2\cdot(-1)^{n}$

式Ｃ
となる。

ここで
$a_{n}-b_{n}=x_{n}$
とおくと、式Ｃは
$x_{n+1}=x_{n} \textcolor{red}{-2\cdot(-1)^{n}}$式Ｄ
と表せる。

また、
$x_{1}=a_{1}-b{1}$
$\phantom{x_{1}}=1-1$
$\phantom{x_{1}}=0$
だ。

(1)と同じように考えると、式Ｄの赤い部分が階差数列の一般項なので、
$x_{n}=x_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\{-2\cdot(-1)^{k}\}$

途中式

$\phantom{ x_{n} } =x_{1}-2 \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}$
より
$x_{n} = 0 -2 \cdot \displaystyle \frac{-1 \cdot \{ 1 - (-1)^{n-1} \}}{1- (-1)}$
$\phantom{ x_{n} } = 1 - (-1)^{n-1}$

$\phantom{ x_{n} } = 1 + (-1)^{n}$
となる。

ここで、 $x_{n} = a_{n}-b_{n}$なので、
$a_{n}-b_{n}=1+(-1)^{n}$
である。

解答ケ：５

さらに、$\{a_{n}\}$と$\{b_{n}\}$の大小関係を並べて書くと、図Ａができる。

図Ａより、

である。

次に、初項が$c$で、漸化式が
$c_{n+1}=c_{n}+4n+2+2\cdot(-1)^{n}$式Ｆ
である数列$\{c_{n}\}$を考える。

式Ｂから式Ｆを辺々引くと、

	$b_{n+1}$	$=$	$b_{n}$	$+4n$	$+2$	$+2\cdot(-1)^{n}$
$-)$	$c_{n+1}$	$=$	$c_{n}$	$+4n$	$+2$	$+2\cdot(-1)^{n}$
$b_{n+1}-c_{n+1}$		$=$	$b_{n}-c_{n}$	式Ｇ

とかける。

ここで
$b_{n}-c_{n}=y_{n}$
とおくと、式Ｇは
$y_{n+1}=y_{n}$
と表せる。
つまり、$\{y_{n}\}$は、すべての項が同じ値の数列だ。

いま
$\left\{\begin{array}{l}
b_{1}=1\\
c_{1}=c
\end{array}\right.$
なので、
$y_{1}=b_{1}-c_{1}$
$\phantom{ y_{1} } =1-c$
だけど、$\{y_{n}\}$はすべての項が同じ値なので、
$y_{n}=1-c$
だから
$b_{n}-c_{n}=1-c$式Ｈ
である。

解答セ：１, ソ：ｃ

次は、$\{a_{n}\}$と$\{c_{n}\}$の和の比較だ。
なので、$a_{n}$と$c_{n}$の関係式をつくろう。

式Ｅと式Ｈを辺々たす。

より、

$a_{n}-c_{n}=$

$1-c \hspace{16px} n$が奇数のとき $3-c \hspace{16px} n$が偶数のとき

式Ｉ

と表せる。

なので、$S_{4}-U_{4}$は

	$a_{1}$	$-$	$b_{1}$	$=$	$1$	$-$	$c$
	$a_{2}$	$-$	$b_{2}$	$=$	$3$	$-$	$c$
	$a_{3}$	$-$	$b_{3}$	$=$	$1$	$-$	$c$
$+)$	$a_{4}$	$-$	$b_{4}$	$=$	$3$	$-$	$c$
	$S_{4}$	$-$	$U_{4}$	$=$	$8$	$-$	$4c$	式Ｊ

とかける。

いま
$S_{4}=U_{4}$
より
$S_{4}-U_{4}=0$
だから、式Ｊは
$8-4c=0$
となる。

これを解いて、
$c=2$
である。

解答タ：２

このとき、式Ｉは

$a_{n}-c_{n}=$

$1-2=-1 \hspace{16px} n$が奇数のとき $3-2=1 \hspace{28px} n$が偶数のとき

と表せる。

なので、$m$を奇数として
$(a_{m}-c_{m})+(a_{m+1}-c_{m+1})=-1+1$
$\phantom{(a_{m}-c_{m})+(a_{m+1}-c_{m+1})}=0$
とかけるから、図Ｂのように、
$a_{n}-c_{n}$
は、２行セットで和が$0$だ。

このことから、
$S_{2020}-U_{2020}=0$
つまり 図Ｂの黄色い部分の和は$0$だ。

よって、図Ｂより、
$S_{2021}-U_{2021}=a_{2021}-c_{2021}$
$\phantom{ S_{2021}-U_{2021} } =-1$
なので、
$S_{2021} \lt U_{2021}$
となる。

解答チ：０

また、図Ｂより
$S_{2022}-U_{2022}=0$
だから、
$S_{2022}=U_{2022}$
である。

解答ツ：１