大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試 数学Ⅱ 第3問 [1] 解説

解説

$\log_{2}x$の底$2$は$1$より大きいので、
$1\leqq x\leqq 4$

$\log_{2}1\leqq\log_{2}x\leqq\log_{2}4$
とかけるから、
$0\leqq\log_{2}x\leqq 2$
となる。

この式に
$t=\log_{2}x$式A
を代入して、$t$の範囲は
$0\leqq t\leqq 2$式B
である。

解答ア:0, イ:2


$y=\displaystyle \log_{2}x^{4}\cdot\log_{2}\frac{2}{x}$

$y=4\log_{2}x\cdot\left(\log_{2}2-\log_{2}x\right)$
$\phantom{ y } =4\log_{2}x\cdot\left(1-\log_{2}x\right)$
と変形できる。

これに式Aを代入すると
$y=4t(1-t)$式C
$\phantom{ y } =-4t^{2}+4t$
と表せる。

解答ウ:-, エ:4, オ:4


式Cのグラフは
上に凸の放物線 $0$,$1$で$t$軸と交わる だから、図Aのような状態だ。

図A
大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅱ第3問[1] 解説図A

$t$の定義域は式Bなので、図Aの緑の範囲。
よって、$y$が最大になるのは放物線の頂点(図Aの赤い点)である。

赤い点の$t$座標は、二次関数のグラフが横軸と交わる2点の$t$座標
$0$,$1$
のちょうど真ん中だから、
$t=\displaystyle \frac{1}{2}$式D
である。

このときの$x$は、式Dを式Aに代入して、
$\displaystyle \log_{2}x=\frac{1}{2}$
より
$x=2^{\frac{1}{2}}$
$\phantom{ x } =\sqrt{2}$
となる。

解答カ:1

また、$y$の最大値(赤い点の$y$座標)は、式Dを式Cに代入して、
$y=4\displaystyle \cdot\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)$
$\phantom{ y } =1$
である。

解答キ:1