$k-x \lt 2x+1$
を解くと
$k-1 \lt 2x+x$
$\dfrac{k-1}{3} \lt x$式Ａ
となる。

解答ア：１, イ：３

また、
$\sqrt{5}x \lt k-x$
を解くと

途中式

$x+\sqrt{5}x \lt k$
$\left(1+\sqrt{5}\right)x \lt k$

$0 \lt 1+\sqrt{5}$なので
$x \lt \dfrac{k}{1+\sqrt{5}}$

分母を有理化して
$x \lt \dfrac{\left(-1+\sqrt{5}\right)k}{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(-1+\sqrt{5}\right)}$

$x \lt \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}k$式Ｂ
である。

解答ウ：－, エ：１, オ：４

不等式①が解を持つのは、式Ａ，式Ｂの範囲の共通部分が存在するとき。
つまり、図Ａのような場合のとき。

図Ａになるためには
$\dfrac{k-1}{3} \lt \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}k$
でなければならない。

これを計算して、求める$k$の範囲は

途中式

$4\left(k-1\right) \lt 3\left(-1+\sqrt{5}\right)k$
$4k-\left(-3+3\sqrt{5}\right)k \lt 4$
$\left(7-3\sqrt{5}\right)k \lt 4$

$0 \lt 7-3\sqrt{5}$なので
$k \lt \dfrac{4}{7-3\sqrt{5}}$
$k \lt \dfrac{4\left(7+3\sqrt{5}\right)}{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(7+3\sqrt{5}\right)}$
$k \lt \dfrac{4\left(7+3\sqrt{5}\right)}{4}$

$k \lt 7+3\sqrt{5}$②
である。

解答カ：７, キ：３

②が成り立つとき、範囲の幅は図Ａの赤線部分の幅にあたる。
これが$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$より大きくなるので、不等式
$\dfrac{\sqrt{5}}{3} \lt \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}k-\dfrac{k-1}{3}$
ができる。
これを解く。

両辺を$3\times 4$倍して
$4\sqrt{5} \lt \left(-3+3\sqrt{5}\right)k-4k+4$

$k$の項を左辺に、定数項を右辺に集めて
$-\left(-3+3\sqrt{5}\right)k+4k \lt 4-4\sqrt{5}$
$\left(7-3\sqrt{5}\right)k \lt 4-4\sqrt{5}$

$0 \lt 7-3\sqrt{5}$なので
$k \lt \dfrac{4-4\sqrt{5}}{7-3\sqrt{5}}$

右辺の分母を有理化して
$k \lt \dfrac{\left(4-4\sqrt{5}\right)\left(7+3\sqrt{5}\right)}{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(7+3\sqrt{5}\right)}$

途中式

$k \lt \dfrac{\left(4-4\sqrt{5}\right)\left(7+3\sqrt{5}\right)}{4}$
$k \lt \left(1-\sqrt{5}\right)\left(7+3\sqrt{5}\right)$
$k \lt 7+3\sqrt{5}-7\sqrt{5}-15$

$k \lt -8-4\sqrt{5}$
である。

解答ク：－, ケ：８, コ：４