まず、漸化式
$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=23\\ a_{n+1}=a_{n}-3 \end{array}\right.$式Ａ
で表された数列$\{a_{n}\}$の一般項を求める。

漸化式の基本の形の復習をしておくと、

復習

$p_{n+1}=p_{n}+d$
$\{p_{n}\}$は公差$d$の等差数列 $p_{n+1}=rp_{n}$
$\{p_{n}\}$は公比$r$の等比数列 $p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
$\{p_{n}\}$の階差数列の一般項が$f(n)$ $ p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
$(p_{n+1}-\gamma)=\alpha(p_{n}-\gamma)$の形にして解く

だった。

式Ａの漸化式は復習の１番目の形で、
$\left\{\begin{array}{l}
\text{初項が}23\\
\text{公差が}-3
\end{array}\right.$
の等差数列だ。

なので、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は
$a_{n}=23+(n-1)(-3)$
より
$a_{n}=-3n+26$式Ｂ
となる。

解答ア：－, イ：３, ウ：２, エ：６

$a_{n}$が負になる$n$は、式Ｂより
$-3n+26 \lt 0$
とかける。

これを解くと
$3n \gt 26$
$n \gt \dfrac{26}{3}$
だけど、$n$は自然数なので
$n \geqq 9$
だ。

よって、$a_{n} \lt 0$である最小の自然数$n$は
$n=9$
であることが分かる。

解答オ：９

また、式Ａより、すべての自然数$n$について
$a_{n+1} \lt a_{n}$式Ｃ
が成り立つ。

したがって、$\{a_{n}\}$はつねに減少する。

解答カ：１

ここで、$S_{n}$を
$\displaystyle S_{n}= \sum_{k=1}^{n}a_{k}$
とおく。
つまり、$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和を$S_{n}$とする。

オカより、$\{a_{n}\}$は
つねに減少し、$n=9$のときに初めて負になる ことが分かっている。
表にすると、表Ａのような状態だ。

和は、値が正の項をたすと増加し、負の項をたすと減少する。
したがって、表Ａより、$\{a_{n}\}$の和$S_{n}$は
$n=8$まで増加 $n=9$から減少 する。
つまり、増加することも減少することもある。

解答キ：２

また、$\{a_{n}\}$は
$n\geqq 9$のとき、$a_{n} \lt 0$ である。

解答ク：０

さらに、$b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$として、$n\geqq 9$の範囲での$\{b_{n}\}$の増減を考える。

クより、この範囲では $a_{n} \lt 0$ だから、
$a_{n+1}\cdot a_{n} \gt 0$ である。

なので、式Ｃの両辺を $a_{n+1}\cdot a_{n}$ で割っても、不等号の向きは変わらない。

よって、
$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+1}\cdot a_{n}} \lt \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}\cdot a_{n}}$
より
$\dfrac{1}{a_{n}} \lt \dfrac{1}{a_{n+1}}$
となるから、
$b_{n} \lt b_{n+1}$
であることが分かる。

以上より、$n\geqq 9$の範囲で、
$b_{n}$はつねに増加する といえる。

解答ケ：０

今度は
$c_{1}=30$，$c_{n+1}=\dfrac{50c_{n}-800}{c_{n}-10}$
を考える。

$d_{n}=\dfrac{1}{c_{n}-20}$式Ｄ
とおくと、

となる。

①式を$\{c_{n}\}$の漸化式に代入すると
$\dfrac{1}{d_{n+1}}+20=\cfrac{50\left(\cfrac{1}{d_{n}}+20\right)-800}{\left(\cfrac{1}{d_{n}}+20\right)-10}$
より
$\dfrac{1}{d_{n+1}}=\cfrac{50\cdot\cfrac{1}{d_{n}}+1000-800}{\cfrac{1}{d_{n}}+20-10}-20$
$\phantom{ \dfrac{1}{d_{n+1}} } =\cfrac{50\cdot\cfrac{1}{d_{n}}+200}{\cfrac{1}{d_{n}}+10}-20$
と表せる。

これを変形する。

$d_{n}\neq 0$なので、右辺の分母分子に$d_{n}$をかけて、
$\dfrac{1}{d_{n+1}}=\dfrac{50+200d_{n}}{1+10d_{n}}-20$

右辺を通分して
$\dfrac{1}{d_{n+1}}=\dfrac{50+200d_{n}}{1+10d_{n}}-\dfrac{20(1+10d_{n})}{1+10d_{n}}$
$\phantom{ \dfrac{1}{d_{n+1}} } =\dfrac{50+200d_{n}-20-200d_{n}}{1+10d_{n}}$
$\phantom{ \dfrac{1}{d_{n+1}} } =\dfrac{30}{1+10d_{n}}$

この式の両辺の逆数をとると
$\dfrac{d_{n+1}}{1}=\dfrac{1+10d_{n}}{30}$
より
$d_{n+1}=\dfrac{1}{3}d_{n}+\dfrac{1}{30}$式Ｅ
とかける。

解答セ：３, ソ：３, タ：０

式Ｅは、復習の漸化式の基本の形の４つめだ。
なので、お約束の解き方で解いてしまおう。

式Ｅを
$d=\dfrac{1}{3}d+\dfrac{1}{30}$
と書きかえて、$d$について解くと、

途中式

両辺を$30$倍して、
$30d=10d+1$
$20d=1$

$d=\dfrac{1}{20}$
となる。

この$\textcolor{red}{\dfrac{1}{20}}$を使って、式Ｅは
$d_{n+1}- \textcolor{red}{ \dfrac{1}{20} }=\dfrac{1}{3}\left(d_{n}-\textcolor{red}{ \dfrac{1}{20} }\right)$式Ｅ'
と変形できる。

ここで、
$e_{n}=d_{n}- \dfrac{1}{20}$式Ｆ
とおくと、

コサより
$e_{1}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{20}$
$\phantom{ e_{1} } =\dfrac{1}{20}$

式Ｅ'は$e_{n+1}= \dfrac{1}{3}e_{n}$となるので、復習から、
$\{e_{n}\}$は公比が$ \dfrac{1}{3}$の等比数列

である。

よって、$\{e_{n}\}$の一般項$e_{n}$は
$e_{n}= \dfrac{1}{20}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
とかける。

これを式Ｆに代入して、
$d_{n}- \dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{20}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
より
$d_{n}=\textcolor{red}{ \dfrac{1}{20}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} }+ \dfrac{1}{20}$式Ｇ
となる。

解答チ：２, ツ：０, テ：３, ト：２, ナ：０

式Ｇの赤い部分を考えると、

ことが分かる。

最後は$\{c_{n}\}$だけど、
$c_{n}= \textcolor{red}{\dfrac{1}{d_{n}}} +20$①
だった。

この式の赤い部分を考えると、ニヌより、

といえる。

したがって、$ \dfrac{1}{d_{n}}$に$20$をたした$c_{n}$は
$40 \gt c_{n}$で、つねに増加する ことが分かる。

これにあてはまるのは、選択肢のうち
④
しかない。

解答ネ：４