大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試 数学ⅠA 第4問 解説

(1)

まず $7x+13y+17z=8$ $35x+39y+34z=37$ を考える。

①$\times 5-$② により$x$を消去すると、

$35x$ $+65y$ $+85z$ $=$ $40$
$-)$ $35x$ $+39y$ $+34z$ $=$ $37$
$26y$ $+51z$ $=$ $3$

となる。

解答ア:2, イ:6, ウ:5, エ:1


この一次不定方程式③を解く。

一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

まず、解をひと組見つける。

③の$y$と$z$の係数の$26$と$51$でユークリッドの互除法を行うと、
$51\div 26=1\ldots 25$式A1
$26\div 25=1\ldots 1$式A2

これを「=余り」の形に変形して、
$51-26\cdot 1=25$式A1'
$26-25\cdot 1=1$式A2'

式A2'に式A1'を代入すると
$51\cdot(-1)+26\cdot 2=1$
ができる。

これを③の方程式に合わせよう。
項の順序を入れ替えて
$26\cdot 2+51\cdot(-1)=1$
両辺に$3$をかけると
$26\cdot 6+51\cdot(-3)=3$式B
となって、③の形になった。

よって、③の方程式の解のひとつは
$\left\{\begin{array}{l}
y=6\\
z=-3
\end{array}\right.$式C
であることが分かる。

解がひと組見つかった。

アドバイス

ここでは、地道な作業をすれば誰でも解をひとつ求められる方法をとった。
直感でぱっと解を見つけられるひとは、ここまでの作業は必要ないです。
その場合、見つけた解を③式に代入したものを式Bとして使ってください。


③から式Bを辺々引くと

$26y$ $+51z$ $=$ $3$
$-)$ $26\cdot 6$ $+51\cdot(-3)$ $=$ $3$
$26(y-6)$ $+51(z+3)$ $=$ $0$

となるから、
$26(y-6)=-51(z+3)$式D
とかける。

ここで、$26$と$51$は互いに素なので、式Dが成り立つためには、$k$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}
y-6=-51k\\
z+3=26k
\end{array}\right.$
でなければならない。

以上より、一次不定方程式③の解は
$\left\{\begin{array}{l}
y=6-51k\\
z=-3+26k
\end{array}\right.$式E
となる。

解答ク:5, ケ:1, コ:2, サ:6

クケコサが先に解けてしまった。

式Eより、$y$は$51$ごとの整数であることが分かる。
つまり、ある解に$51$をたすとひとつ大きい解、$51$を引くとひとつ小さい解だ。
なので、式Cの$y=6$よりひとつ小さい解は負、ひとつ大きい解は$6$より大きい。
よって、$y$が正で最小の解は式Cである。

解答オ:6, カ:-, キ:3


さらに、式Eを①に代入すると
$7x+13(6-51k)+17(-3+26k)=8$
とかける。

これを$x$について解くと、
$$ \begin{align} 7x&=-13(6-51k)-17(-3+26k)+8\\ &=-78+663k+51-442k+8\\ &=221k-19 \end{align} $$ $x=\dfrac{221k-19}{7}$式F
と表せる。

式Fの右辺をの式の形にする。
方法は色々あるけど、ここではの式を変形して式Fを作ろう。

の式を変形すると
$$ \begin{align} x &=\dfrac{31\cdot 7k-3\cdot 7+\fbox{シ}k+2}{7}\\ &=\dfrac{(217+\fbox{シ})k-19}{7} \end{align} $$ とかける。

式Fとこの式が等しいので、
$217+$$=221$
$=4$
である。

解答シ:4


したがって、式Fは
$x=31k-3+\textcolor{red}{\dfrac{4k+2}{7}}$
と変形できる。

この$x$が整数になるのは、赤い部分が整数になる場合。
つまり、
$4k+2=2(\textcolor{forestgreen}{2k+1})$
が$7$の倍数である場合。

$2$と$7$は互いに素なので、これが$7$の倍数であるためには、緑の部分が$7$の倍数でなければならない。
式にすると、$\ell$を整数として
$2k+1=7\ell$式G でなければならない。

式Gの左辺は奇数なので、右辺も奇数だ。
つまり
$7\times \ell=$奇数
なので
$\ell=$奇数
だから、$\ell '$を整数として
$\ell=2\ell '+1$
とかける。

これを式Gに代入して変形すると
$2k+1=7(2\ell '+1)$
より
$2k=7\cdot 2\ell '+6$
$k=7\ell ' +3$
となるから、
$k$は$7$で割ると$3$余る数 である。

以上より、
$k$を$7$で割ると$3$余るとき、$x$は整数になる ことが分かる。

解答ス:3

したがって、
$k$を$7$で割ると$3$余るとき、①,②をともに満たす整数$x$,$y$,$z$が存在する といえる。

(2)

次は
$2x+5y+7z=a$ $3x+25y+21z=-1$ を考える。

⑤-④ より

$3x$ $+25y$ $+21z$ $=$ $-1$
$-)$$2x$ $+5y$ $+7z$ $=$ $a$
$x$ $+20y$ $+14z$ $=$ $-1-a$

なので
$x=-20y-14z-1-a$
とかける。

また、⑤$\times 2-$④$\times 3$ を計算すると

$6x$ $+50y$ $+42z$ $=$ $-2$
$-)$ $6x$ $+15y$ $+21z$ $=$ $3a$
$35y$ $+21z$ $=$ $-(2+3a)$

となる。


この一次不定方程式⑦が整数解をもつ場合を考える。

ここで、一次不定方程式の整数解が存在する条件を復習しておくと、

復習

$\alpha$,$\beta$を$0$じゃない整数としたとき、

一次不定方程式
$\alpha x+\beta y=1$
を満たす整数$x$,$y$が
存在する

$\Leftrightarrow$

$\alpha$と$\beta$が互いに
素である

だった。

⑦式の$y$と$z$の係数は
$\left\{\begin{array}{l}
35=7\times 5\\
21=7\times 3
\end{array}\right.$
だから、⑦式の両辺を$7$で割ることができれば、$y$と$z$の係数が$5$と$3$になり、互いに素になる。

よって、⑦式が整数解を持つ必要十分条件は 右辺が$7$で割り切れることだといえるから、
$2+3a$が$7$の倍数である となる。

式にすると、$m$を整数として
$2+3a=7m$式H だ。


式Hの左辺は$3$で割ると$2$余る数なので、右辺も$3$で割ると$2$余るはず。
また、$7$は$3$で割ると$1$余る数だから、右辺の$7m$は
$3$で割ると$1$余る数$\times m=$$3$で割ると$2$余る数
となるので、$m$は$3$で割ると$2$余る数でなければならない。

詳しく

$3$で割りきれる数を0 $3$で割ると$1$余る数を1 $3$で割ると$2$余る数を2 と表すと、このうちの2数の積について、次の表のような関係が成り立つ。

012
0000
1012
2021

これは別に憶えるほどのことでもなくて、例えば
1$\times$2
を考えてみると、$i$,$j$を整数として
1$=3i+1$
1$=3j+2$
とかけるから、積は
$$ \begin{align} (3i+\textcolor{red}{1})(3j+\textcolor{red}{2})&=3i\cdot 3j+3i\cdot 2+3j\cdot 1+\textcolor{red}{2}\cdot \textcolor{red}{1}\\ &=3(3ij+2i+j)+\textcolor{red}{2} \end{align} $$ となり、$3$で割った余りは$2$だと簡単に分かる。
つまり、2数の積を$3$で割った余りは、もとの数の余りの積だ。
もとの数の余りの積が$3$以上になる場合は、これを$3$で割った余りが求める余りになる。

問題の$7m$の場合、$m$を$3$で割った余りを$R$とすると、
$7$を$3$で割った余りは$1$だから、
$7m$を$3$で割った余りは
$1\cdot R=R$
となる。

この$R$が$2$なので、
$m$を$3$で割った余りは$2$である ことが分かる。

よって、$m'$を整数として、
$m=3m'+2$
とかける。

これを式Hに代入して変形すると、
$2+3a=7(3m'+2)$
より
$$ \begin{align} 3a&=7\cdot 3m' +14-2\\ &=7\cdot 3m' +12 \end{align} $$ $a=7m' +4$
となるから、
$a$は$7$で割ると$4$余る数 である。

以上より、
⑦式を満たす整数$y$,$z$が存在するための必要十分条件は、$a$を$7$で割ったときの余りが$4$ だといえる。

解答セ:7, ソ:4

(3)

今度は
$x+2y+bz=1$ $5x+6y+3z=5+b$ だ。

⑨-⑧$\times 5$ を計算すると

$5x$ $+6y$ $+3z$ $=$ $5+b$
$-)$ $5x$ $+10y$ $+5bz$ $=$ $5$
$-4y$ $+(3-5b)z$ $=$ $b$

と表せる。

これが整数解$y$,$z$をもつ場合を考える。

復習より、⑩式が整数解を持つ必要十分条件は、$y$と$z$の係数が互いに素であること。

これには
⑩式の両辺を割り切れる整数が存在するときパターンA
→両辺を整数で割ったあとの$y$と$z$の係数が互いに素
⑩式の両辺を割り切れる整数が存在しないときパターンB
→⑩式の$y$と$z$の係数が互いに素
の2パターン考えられる。


パターンAからはじめよう。

⑩式の$y$の係数は
$-4=-2^{2}$
なので、素因数は
$2$
しかない。

なので、パターンAであるためには、⑩式の右辺も$2$で割り切れないといけない。
したがって、$b$は偶数である。

このとき、$z$の係数の$3-5b$は
$3-5b=3-5\times$偶数
$\phantom{3-5b}=3-$偶数
$\phantom{3-5b}=$奇数
となる。

なので、⑩式の$z$の係数は$2$で割り切れない。
つまり、⑩式の両辺を割り切れる整数は存在しないから、パターンAは成り立たない。

よって、求める必要十分条件は、パターンBの
⑩式の$y$と$z$の係数が互いに素 しかない。


というわけで、パターンBを考える。

さっき考えたように、$y$の素因数は
$2$
だけ。
だから、$z$の係数の$3-5b$が$2$の倍数でなければ、$y$と$z$の係数は互いに素になる。

したがって、求める必要十分条件は
$3-5b$が奇数である といえる。

このとき、
$3-5b=$奇数
より
$5b=3-$奇数
だから
$5b=$偶数
なので
$b$は偶数 である。

以上より、⑩式が整数解を持つ必要十分条件は
$b$が偶数である と言いかえられる。

この$b$を$4$で割ったときの余りを問われているので、答えは$0,2$だ。

解答タ:0, チ:2

(4)

最後は
$x+3y+5z=1$ $cx+3(c+5)y+10z=3$ について。

問題文に「これまでと同様」とあるので、同じような作業をしよう。

問題文の指示に従って$x$を消す。

⑫-⑪$\times c$ を計算すると

$cx$ $+3(c+5)y$ $+10z$ $=$ $3$
$-)$ $cx$ $+3cy$ $+5cz$ $=$ $c$
$3\cdot 5y$ $+(10-5c)z$ $=$ $3-c$

より
$3\cdot 5y+5(2-c)z=3-c$式I
ができる。

この式Iが整数解をもつ場合を考える。

復習より、式Iが整数解を持つ必要十分条件は、$y$と$z$の係数が互いに素であること。

(3)と同様に、これには
式Iの両辺を割り切れる整数が存在するときパターンC
→両辺を整数で割ったあとの$y$と$z$の係数が互いに素
式Iの両辺を割り切れる整数が存在しないときパターンD
→式Iの$y$と$z$の係数が互いに素
の2パターン思いつくけど、式Iを見ると $y$と$z$の係数は両方とも$5$の倍数だから、パターンDは不適。
パターンCだけ考えよう。


式Iの$y$の係数を割り切れる整数は
$3$と$5$
の2つある。

なので、パターンCであるためには、式Iの$z$の係数と右辺が$3$または$5$で割り切れないといけない。

$3$で割り切れる場合

この場合、
$z$の係数が$3$で割り切れるので、
$2-c$は$3$の倍数
右辺が$3$で割り切れるので、
$3-c$は$3$の倍数
でなければならない。

ここで、$2-c$と$3-c$は連続する整数なので、両方が$3$の倍数になることはない。
なので、式Iの両辺が$3$で割り切れることはない。

$5$で割り切れる場合

$z$の係数は$5$で割り切れるのは明らかなので、右辺の$3-c$だけ考える。

$3-c$が$5$で割り切れるとき、$n$を整数として
$3-c=5n$
より
$c=-5n+3$
とかけるから、$c$は$5$で割ると$3$余る数だ。

なので、$c$が$5$で割ると$3$余る数のとき、式Iの両辺は$5$で割り切れる。

以上より、パターンCが成り立つのは
$c$が$5$で割ると$3$余る数 であるとき。

このとき、式Iは、両辺を$5$で割って
$3y+(2-c)z=n$式I'
と変形できる。


さらに、パターンCであるためには、式I'の$y$と$z$の係数が互いに素にならないといけない。
つまり、$2-c$が$3$の倍数であってはいけない。

これは、$p$を整数として
$2-c\neq 3p$
より
$c\neq-3p+2$
と表せる。

つまり、
$c$を$3$で割った余りは$2$じゃない ことになる。


以上より、
式Iを満たす整数$y$,$z$が存在するための必要十分条件は
$c$を$\left\{\begin{array}{l} 5\text{で割ると}3\text{余る}\\ 3\text{で割った余りは}2\text{じゃない} \end{array}\right.$条件A
といえる。

条件Aの$3$で割った余りと$5$で割った余りを使ってツテで割った余りを求めるので、ツテ
$3\times 5=15$
だと考えられる。

解答ツ:1, テ:5


というわけで、条件Aを使って$c$を$15$で割った余りを求めよう。

$c$を$5$で割った余りが$3$なので、
$c$を$15$で割った余りは
$3$ $3+5=8$ $8+5=13$

$c$を$3$で割った余りは$2$じゃないので、
$c$を$15$で割った余りは
$2$ $2+3=5$ $5+3=8$ $8+3=11$ $11+3=14$ じゃない

このふたつを合わせて、条件Aは
$c$を$15$で割った余りが$3$,$13$である と言いかえられるから、
式Iを満たす整数$y$,$z$が存在するための必要十分条件は、$c$を$15$で割った余りが$3$,$13$ であることが分かる。

アドバイス

本当は、このときに整数$x$が存在することも示さないといけない。
けれど、問題文では(2)(3)ともに整数$x$が存在することを示す作業を省略しているので、(4)でも同様に省略する。

解答ト:3, ナ:1, ニ:3