まず $7x+13y+17z=8$① $35x+39y+34z=37$② を考える。

①$\times 5-$② により$x$を消去すると、

となる。

解答ア：２, イ：６, ウ：５, エ：１

この１次不定方程式③を解く。

１次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

まず、解をひと組見つける。

③の$y$と$z$の係数の$26$と$51$でユークリッドの互除法を行うと、
$51\div 26=1\ldots 25$式Ａ1
$26\div 25=1\ldots 1$式Ａ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$51-26\cdot 1=25$式Ａ1'
$26-25\cdot 1=1$式Ａ2'

式Ａ2'に式Ａ1'を代入すると
$51\cdot(-1)+26\cdot 2=1$
ができる。

これを③の方程式に合わせよう。
項の順序を入れ替えて
$26\cdot 2+51\cdot(-1)=1$
両辺に$3$をかけると
$26\cdot 6+51\cdot(-3)=3$式Ｂ
となって、③の形になった。

よって、③の方程式の解のひとつは
$\left\{\begin{array}{l}
y=6\\
z=-3
\end{array}\right.$式Ｃ
であることが分かる。

解がひと組見つかった。

③から式Ｂを辺々引くと

となるから、
$26(y-6)=-51(z+3)$式Ｄ
とかける。

ここで、$26$と$51$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$k$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}
y-6=-51k\\
z+3=26k
\end{array}\right.$
でなければならない。

以上より、１次不定方程式③の解は
$\left\{\begin{array}{l}
y=6-51k\\
z=-3+26k
\end{array}\right.$式Ｅ
となる。

解答ク：５, ケ：１, コ：２, サ：６

クケコサが先に解けてしまった。

式Ｅより、$y$は$51$ごとの整数であることが分かる。
つまり、ある解に$51$をたすとひとつ大きい解、$51$を引くとひとつ小さい解だ。
なので、式Ｃの$y=6$よりひとつ小さい解は負、ひとつ大きい解は$6$より大きい。
よって、$y$が正で最小の解は式Ｃである。

解答オ：６, カ：－, キ：３

さらに、式Ｅを①に代入すると
$7x+13(6-51k)+17(-3+26k)=8$
とかける。

これを$x$について解くと、
$$ \begin{align} 7x&=-13(6-51k)-17(-3+26k)+8\\ &=-78+663k+51-442k+8\\ &=221k-19 \end{align} $$ $x=\dfrac{221k-19}{7}$式Ｆ
と表せる。

式Ｆの右辺をシの式の形にする。
方法は色々あるけど、ここではシの式を変形して式Ｆを作ろう。

シの式を変形すると
$$ \begin{align} x &=\dfrac{31\cdot 7k-3\cdot 7+\fbox{シ}k+2}{7}\\ &=\dfrac{(217+\fbox{シ})k-19}{7} \end{align} $$ とかける。

式Ｆとこの式が等しいので、
$217+$シ$=221$
シ$=4$
である。

解答シ：４

したがって、式Ｆは
$x=31k-3+\textcolor{red}{\dfrac{4k+2}{7}}$
と変形できる。

この$x$が整数になるのは、赤い部分が整数になる場合。
つまり、
$4k+2=2(\textcolor{forestgreen}{2k+1})$
が$7$の倍数である場合。

$2$と$7$は互いに素なので、これが$7$の倍数であるためには、緑の部分が$7$の倍数でなければならない。
式にすると、$\ell$を整数として
$2k+1=7\ell$式Ｇ でなければならない。

式Ｇの左辺は奇数なので、右辺も奇数だ。
つまり
$7\times \ell=$奇数
なので
$\ell=$奇数
だから、$\ell '$を整数として
$\ell=2\ell '+1$
とかける。

これを式Ｇに代入して変形すると
$2k+1=7(2\ell '+1)$
より
$2k=7\cdot 2\ell '+6$
$k=7\ell ' +3$
となるから、
$k$は$7$で割ると$3$余る数 である。

以上より、
$k$を$7$で割ると$3$余るとき、$x$は整数になる ことが分かる。

解答ス：３

したがって、
$k$を$7$で割ると$3$余るとき、①，②をともに満たす整数$x$，$y$，$z$が存在する といえる。

次は
$2x+5y+7z=a$④ $3x+25y+21z=-1$⑤ を考える。

⑤-④ より

なので
$x=-20y-14z-1-a$⑥
とかける。

また、⑤$\times 2-$④$\times 3$ を計算すると

となる。

この１次不定方程式⑦が整数解をもつ場合を考える。

ここで、１次不定方程式の整数解が存在する条件を復習しておくと、

だった。

⑦式の$y$と$z$の係数は
$\left\{\begin{array}{l}
35=7\times 5\\
21=7\times 3
\end{array}\right.$
だから、⑦式の両辺を$7$で割ることができれば、$y$と$z$の係数が$5$と$3$になり、互いに素になる。

よって、⑦式が整数解を持つ必要十分条件は 右辺が$7$で割り切れることだといえるから、
$2+3a$が$7$の倍数である となる。

式にすると、$m$を整数として
$2+3a=7m$式Ｈ だ。

式Ｈの左辺は$3$で割ると$2$余る数なので、右辺も$3$で割ると$2$余るはず。
また、$7$は$3$で割ると$1$余る数だから、右辺の$7m$は
$3$で割ると$1$余る数$\times m=$$3$で割ると$2$余る数
となるので、$m$は$3$で割ると$2$余る数でなければならない。

詳しく

$3$で割りきれる数を $3$で割ると$1$余る数を $3$で割ると$2$余る数を と表すと、このうちの２数の積について、次の表のような関係が成り立つ。

これは別に憶えるほどのことでもなくて、例えば
$\times$
を考えてみると、$i$，$j$を整数として
$=3i+1$
$=3j+2$ とかけるから、積は
$$ \begin{align} (3i+\textcolor{red}{1})(3j+\textcolor{red}{2})&=3i\cdot 3j+3i\cdot 2+3j\cdot 1+\textcolor{red}{2}\cdot \textcolor{red}{1}\\ &=3(3ij+2i+j)+\textcolor{red}{2} \end{align} $$ となり、$3$で割った余りは$2$だと簡単に分かる。
つまり、２数の積を$3$で割った余りは、もとの数の余りの積だ。
もとの数の余りの積が$3$以上になる場合は、これを$3$で割った余りが求める余りになる。

問題の$7m$の場合、$m$を$3$で割った余りを$R$とすると、
$7$を$3$で割った余りは$1$だから、
$7m$を$3$で割った余りは
$1\cdot R=R$
となる。

この$R$が$2$なので、
$m$を$3$で割った余りは$2$である ことが分かる。

よって、$m'$を整数として、
$m=3m'+2$
とかける。

これを式Ｈに代入して変形すると、
$2+3a=7(3m'+2)$
より
$$ \begin{align} 3a&=7\cdot 3m' +14-2\\ &=7\cdot 3m' +12 \end{align} $$ $a=7m' +4$
となるから、
$a$は$7$で割ると$4$余る数 である。

以上より、
⑦式を満たす整数$y$，$z$が存在するための必要十分条件は、$a$を$7$で割ったときの余りが$4$ だといえる。

解答セ：７, ソ：４

今度は
$x+2y+bz=1$⑧ $5x+6y+3z=5+b$⑨ だ。

⑨-⑧$\times 5$ を計算すると

と表せる。

これが整数解$y$，$z$をもつ場合を考える。

復習より、⑩式が整数解を持つ必要十分条件は、$y$と$z$の係数が互いに素であること。

これには
⑩式の両辺を割り切れる整数が存在するときパターンＡ
→両辺を整数で割ったあとの$y$と$z$の係数が互いに素 ⑩式の両辺を割り切れる整数が存在しないときパターンＢ
→⑩式の$y$と$z$の係数が互いに素 の２パターン考えられる。

パターンＡからはじめよう。

⑩式の$y$の係数は
$-4=-2^{2}$
なので、素因数は
$2$
しかない。

なので、パターンＡであるためには、⑩式の右辺も$2$で割り切れないといけない。
したがって、$b$は偶数である。

このとき、$z$の係数の$3-5b$は
$3-5b=3-5\times$偶数
$\phantom{3-5b}=3-$偶数
$\phantom{3-5b}=$奇数
となる。

なので、⑩式の$z$の係数は$2$で割り切れない。
つまり、⑩式の両辺を割り切れる整数は存在しないから、パターンＡは成り立たない。

よって、求める必要十分条件は、パターンＢの
⑩式の$y$と$z$の係数が互いに素 しかない。

というわけで、パターンBを考える。

さっき考えたように、$y$の素因数は
$2$
だけ。
だから、$z$の係数の$3-5b$が$2$の倍数でなければ、$y$と$z$の係数は互いに素になる。

したがって、求める必要十分条件は
$3-5b$が奇数である といえる。

このとき、
$3-5b=$奇数
より
$5b=3-$奇数
だから
$5b=$偶数
なので
$b$は偶数 である。

以上より、⑩式が整数解を持つ必要十分条件は
$b$が偶数である と言いかえられる。

この$b$を$4$で割ったときの余りを問われているので、答えは$0,2$だ。

解答タ：０, チ：２

最後は
$x+3y+5z=1$⑪ $cx+3(c+5)y+10z=3$⑫ について。

問題文に「これまでと同様」とあるので、同じような作業をしよう。

問題文の指示に従って$x$を消す。

⑫-⑪$\times c$ を計算すると

より
$3\cdot 5y+5(2-c)z=3-c$式Ｉ
ができる。

この式Ｉが整数解をもつ場合を考える。

復習より、式Ｉが整数解を持つ必要十分条件は、$y$と$z$の係数が互いに素であること。

(3)と同様に、これには
式Ｉの両辺を割り切れる整数が存在するときパターンＣ
→両辺を整数で割ったあとの$y$と$z$の係数が互いに素 式Ｉの両辺を割り切れる整数が存在しないときパターンＤ
→式Ｉの$y$と$z$の係数が互いに素 の２パターン思いつくけど、式Ｉを見ると $y$と$z$の係数は両方とも$5$の倍数だから、パターンＤは不適。
パターンＣだけ考えよう。

式Ｉの$y$の係数を割り切れる整数は
$3$と$5$
の２つある。

なので、パターンＣであるためには、式Ｉの$z$の係数と右辺が$3$または$5$で割り切れないといけない。

以上より、パターンＣが成り立つのは
$c$が$5$で割ると$3$余る数 であるとき。

このとき、式Ｉは、両辺を$5$で割って
$3y+(2-c)z=n$式Ｉ'
と変形できる。

さらに、パターンＣであるためには、式Ｉ'の$y$と$z$の係数が互いに素にならないといけない。
つまり、$2-c$が$3$の倍数であってはいけない。

これは、$p$を整数として
$2-c\neq 3p$
より
$c\neq-3p+2$
と表せる。

つまり、
$c$を$3$で割った余りは$2$じゃない ことになる。

以上より、
式Ｉを満たす整数$y$，$z$が存在するための必要十分条件は
$c$を$\left\{\begin{array}{l} 5\text{で割ると}3\text{余る}\\ 3\text{で割った余りは}2\text{じゃない} \end{array}\right.$条件Ａ
といえる。

条件Ａの$3$で割った余りと$5$で割った余りを使ってツテで割った余りを求めるので、ツテは
$3\times 5=15$
だと考えられる。

解答ツ：１, テ：５

というわけで、条件Ａを使って$c$を$15$で割った余りを求めよう。

$c$を$5$で割った余りが$3$なので、
$c$を$15$で割った余りは
$3$ $3+5=8$ $8+5=13$

$c$を$3$で割った余りは$2$じゃないので、
$c$を$15$で割った余りは
$2$ $2+3=5$ $5+3=8$ $8+3=11$ $11+3=14$ じゃない

このふたつを合わせて、条件Ａは
$c$を$15$で割った余りが$3$，$13$である と言いかえられるから、
式Ｉを満たす整数$y$，$z$が存在するための必要十分条件は、$c$を$15$で割った余りが$3$，$13$ であることが分かる。

解答ト：３, ナ：１, ニ：３