大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試 数学ⅡＢ 第３問 解説
(1)
図Ａの箱Ａ，箱Ｂから１枚ずつカードを取り出し、書かれている数の
小さい方を$X$
大きい方を$Y$
と定める。
両方のカードに書かれた数が同じときは、
$X=Y=$書かれた数
とする。
まず、$X$と$Y$の確率分布を求めよう。
$X$を考えると、取り出したカードと$X$の関係は、表Ａのとおり。
| 箱Ａ | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | ||
| 箱Ｂ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $1$ | $2$ | $2$ | $2$ | |
| $3$ | $1$ | $2$ | $3$ | $3$ | |
| $4$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | |
表Ａの全てのマスは同じ確率で起こり、マスの数は$16$個。
$1$のマスは$7$個あるから、$X=1$となる確率は
$\dfrac{7}{16}$
解答ア：７
$2$のマスは$5$個あるから、$X=2$となる確率は
$\dfrac{5}{16}$
解答イ：５
$3$のマスは$3$個あるから、$X=3$となる確率は
$\dfrac{3}{16}$
解答ウ：３
$4$のマスは$1$個あるから、$X=4$となる確率は
$\dfrac{1}{16}$
解答エ：１
である。
同様に、取り出したカードと$Y$の関係は、表Ｂのとおり。
| 箱Ａ | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | ||
| 箱Ｂ | $1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $2$ | $2$ | $2$ | $3$ | $4$ | |
| $3$ | $3$ | $3$ | $3$ | $4$ | |
| $4$ | $4$ | $4$ | $4$ | $4$ | |
表Ｂの全てのマスも同じ確率で起こり、マスの数は$16$個。
$1$のマスは$1$個あるから、$Y=1$となる確率は
$\dfrac{1}{16}$
$2$のマスは$3$個あるから、$Y=2$となる確率は
$\dfrac{3}{16}$
解答オ：３
$3$のマスは$5$個あるから、$Y=3$となる確率は
$\dfrac{5}{16}$
解答カ：５
$4$のマスは$7$個あるから、$Y=4$となる確率は
$\dfrac{7}{16}$
解答キ：７
である。
以上を、確率が大きい順に並べて書くと、表Ｃになる。
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | 計 |
|---|---|---|---|---|---|
| $Y$ | $4$ | $3$ | $2$ | $1$ | |
| $P$ | $\dfrac{7}{16}$ | $\dfrac{5}{16}$ | $\dfrac{3}{16}$ | $\dfrac{1}{16}$ | $1$ |
表Ｃを見ると、確率が同じ$X$と$Y$をたすと、
$X+Y=5$
より
$Y=5-X$
となることが分かる。
よって、確率変数$Z$を
$Z=5-X$
とすると、$Y$と同じ確率分布になる。
解答ク：５
(2)
表Ｃから、確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$は、
$E(X)=1\cdot\dfrac{7}{16}+2\cdot\dfrac{5}{16}+3\cdot\dfrac{3}{16}+4\cdot\dfrac{1}{16}$
とかける。
これを計算して、
$E(X)=\dfrac{7+10+9+4}{16}$
$\phantom{ E(X)} =\dfrac{15}{8}$
である。
解答ケ：１, コ：５
標準偏差は問題文にあるから求める必要はないんだけれど、練習のために説明しておく。
復習
確率変数$X$の標準偏差$\sigma(X)$は、$X$の分散を$V(X)$として、
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
復習
次の表のような確率変数$X$があり、$X$の平均を$E(X)$，$X^{2}$の平均を$E(X^{2})$とする。
| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ | 計 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ | $1$ |
このとき、確率変数$X$の分散$V(X)$は、
$V(X)=(x_{1}-E(X))^{2}\cdot p_{1}+(x_{2}-E(X))^{2}\cdot p_{2}+$
$\hspace{100px} \cdots+(x_{n}-E(X))^{2}\cdot p_{n}$式Ａ
$\phantom{ V(X) } =E(X^{2})-E(X)^{2}$式Ｂ
である。
復習より、標準偏差を求めるために、まず分散を計算する。
復習の式Ａを使うと、
$V(X)=\left(1-\dfrac{15}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{7}{16}+\left(2-\dfrac{15}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{5}{16}$
$\hspace{70px} +\left(3-\dfrac{15}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{3}{16}+\left(4-\dfrac{15}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{1}{16}$
途中式
$\phantom{ V(X) } =\left(-\dfrac{7}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{7}{16}+\left(\dfrac{1}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{5}{16}$
$\hspace{70px} +\left(\dfrac{9}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{3}{16}+\left(\dfrac{17}{8}\right)^{2}\cdot\dfrac{1}{16}$
$\phantom{ V(X) } =\dfrac{1}{8^{2}\cdot 16}\cdot\{(-7)^{2}\cdot 7+1^{2}\cdot 5+9^{2}\cdot 3+17^{2}\}$
$\phantom{ V(X) } =\dfrac{880}{8^{2}\cdot 16}$
となる。
復習の式Ｂを使うと、
$E(X^{2})$は
$E(X^{2})=1^{2}\cdot\dfrac{7}{16}+2^{2}\cdot\dfrac{5}{16}$
$\hspace{100px} +3^{2}\cdot\dfrac{3}{16}+4^{2}\cdot\dfrac{1}{16}$
途中式
$\phantom{ E(X^{2}) } =\dfrac{7+20+27+16}{16}$
$\phantom{ E(X^{2}) } =\dfrac{70}{16}$
である。
なので、式Ｂは
$V(X)=\dfrac{35}{8}-\left(\dfrac{15}{8}\right)^{2}$
途中式
より
$V(X)=\dfrac{35\cdot 8-15^{2}}{8^{2}}$
$\phantom{ V(X) } =\dfrac{5(7\cdot 8-3\cdot 15)}{8^{2}}$
$\phantom{ V(X) } =\dfrac{5\cdot 11}{8^{2}}$
となる。
分散の正の平方根が標準偏差なので、標準偏差$\sigma(X)$は、
$\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{55}{8^{2}}}$
$\phantom{ \sigma(X) } =\dfrac{\sqrt{55}}{8}$
である。
ここで、確率変数の変換について復習しておく。
復習
確率変数$X$の
平均を$E(X)$
分散を$V(X)$
標準偏差を$\sigma(X)$
とする。
$X$と定数$a$，$b$を使って、確率変数$W$を
$W=aX+b$
と定める。
このとき、$W$の
平均$E(W)=aE(X)+b$
分散$V(W)=a^{2}V(X)$
標準偏差$\sigma(W)=\sqrt{V(W)}$
$\hspace{123px} =\left|a\right|\sigma(X)$
となる。
クで考えたように、$Y$の確率分布は$Z$と等しかった。
なので、$Y$の平均と標準偏差の代わりに、$Z$の平均と標準偏差を求める。
$Z=-X+5$ なので、復習より、
平均$E(Z)$は、
$E(Z)=-E(X)+5$
$\phantom{ E(Z)} =-\dfrac{15}{8}+5$
$\phantom{ E(Z)} =\dfrac{25}{8}$
となる。
よって、$E(Y)$も
$E(Y)=\dfrac{25}{8}$
だ。
解答サ：２, シ：５
標準偏差$\sigma(Z)$は、
$\sigma(Z)=\left|-1\right|\sigma(X)$
$\phantom{ \sigma(Z) } =\sigma(X)$
となる。
よって、$\sigma(Y)$も
$\sigma(Y)=\sigma(X)$
である。
解答ス：３
(3)
(i)
$X_{1}+X_{2}$を計算すると、表Ｄのようになる。
| $X_{1}$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | |||
| $\dfrac{7}{16}$ | $\dfrac{5}{16}$ | $\dfrac{3}{16}$ | $\dfrac{1}{16}$ | |||
| $X_{2}$ | $1$ | $\dfrac{7}{16}$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $2$ | $\dfrac{5}{16}$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |
| $3$ | $\dfrac{3}{16}$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | |
| $4$ | $\dfrac{1}{16}$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | |
$X_{1}+X_{2}$が$5$になるのは、表Ｄの赤い部分。
なので、その確率$P(\overline{X}=2.50)$は
$P(\overline{X}=2.50)=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{7}{16}+\dfrac{3}{16}\cdot\dfrac{5}{16} + \dfrac{5}{16}\cdot\dfrac{3}{16}+\dfrac{7}{16}\cdot\dfrac{1}{16}$
式Ｃ
途中式
$\phantom{ P(\overline{X}=2.50) } =2\cdot\left(\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{7}{16}+\dfrac{3}{16}\cdot\dfrac{5}{16}\right)$
$\phantom{ P(\overline{X}=2.50) } =2\cdot\dfrac{7+15}{16\cdot 16}$
$\phantom{ P(\overline{X}=2.50) } =\dfrac{2\cdot 22}{16\cdot 16}$
$\phantom{ P(\overline{X}=2.50) } =\dfrac{11}{8\cdot 8}$
である。
解答セ：１, ソ：１
$Y_{1}+Y_{2}$で同様の作業をすると、
| $Y_{1}$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | |||
| $\dfrac{1}{16}$ | $\dfrac{3}{16}$ | $\dfrac{5}{16}$ | $\dfrac{7}{16}$ | |||
| $Y_{2}$ | $1$ | $\dfrac{1}{16}$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $2$ | $\dfrac{3}{16}$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |
| $3$ | $\dfrac{5}{16}$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | |
| $4$ | $\dfrac{7}{16}$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | |
$Y_{1}+Y_{2}$が$5$になるのは表Ｅの赤い部分なので、その確率$P(\overline{Y}=2.50)$は
$P(\overline{Y}=2.50)=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{7}{16}+\dfrac{3}{16}\cdot\dfrac{5}{16} + \dfrac{5}{16}\cdot\dfrac{3}{16}+\dfrac{7}{16}\cdot\dfrac{1}{16}$
とかけるけど、この式の右辺は式Ｃと同じだ。
なので、
$P(\overline{Y}=2.50)=P(\overline{X}=2.50)$
であることが分かる。
解答タ：１
(ii)
(i)は数学Ａっぽかったけど、ここから数学Ｂだ。
まず最初に思い出さなきゃいけないことは、標本平均と標本標準偏差の次の性質について。
復習
母平均$\mu$，母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を取り出すとき、標本平均$\overline{X}$の
平均$E(\overline{X})=m$
標準偏差$\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
である。
復習より、標本平均$\overline{X}$の標準偏差$\sigma(\overline{X})$は
$\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$
である。
解答チ：２
さらに、母平均の推定について復習しておく。
復習
母標準偏差を$\sigma$，標本平均を$\overline{X}$，標本の大きさを$n$とすると、母平均$\mu$の信頼区間を求める式は
$\overline{X}-z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq\mu\leqq\overline{X}+z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$式Ｄ
ただし、信頼度が$c$％のとき、$z$は、右図を標準正規分布の確率分布図として、図中の$z_{0}$の値。
特に、
信頼度$95$％のとき、$z=1.96$
信頼度$99$％のとき、$z=2.58$
いま
母標準偏差$\sigma=\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{55}}{8}$
標本平均$\overline{X}=2.95$
標本の大きさ$n=100$
信頼度$95$％なので、$z=1.96$
なので、復習の式Ｄより、求める母平均$m_{X}$の信頼区間は
$2.95-1.96\cdot\cfrac{\cfrac{\sqrt{55}}{8}}{\sqrt{100}}\leqq m_{X}\leqq 2.95+1.96\cdot\cfrac{\cfrac{\sqrt{55}}{8}}{\sqrt{100}}$
式Ｅ
とかける。
これを計算する。
問題文より
$\sqrt{55}=7.4$
なので、式Ｅは
$2.95-1.96\cdot\cfrac{\cfrac{7.4}{8}}{10}\leqq m_{X}\leqq 2.95+1.96\cdot\cfrac{\cfrac{7.4}{8}}{10}$
$2.95-0.1813\leqq m_{X}\leqq 2.95+0.1813$
$2.7687\leqq m_{X}\leqq 3.1313$
これを四捨五入して、
$2.769\leqq m_{X}\leqq 3.131$①
となる。
解答ツ：４, テ：７
アドバイス
これじゃ原理がゼンゼン分からないけど、原理通り解くと時間がかかるから、共通テスト本番では機械的に公式を使おう。
原理に関してはこのページを参照してほしい。
同様に$Y$の母平均$m_{Y}$の信頼区間を考えると、
母標準偏差$\sigma=\sigma(Y)$
だけど、スより
$\sigma(Y)=\sigma(X)$
標本平均$\overline{Y}=2.95$
標本の大きさ$n=100$
信頼度$95$％なので、$z=1.96$
なので、式Ｅと全く同じ式になる。
よって、
$2.769\leqq m_{Y}\leqq 3.131$②
である。
解答ト：４, ナ：７
最後に、問題文中の基準を考える。
ケコより、
$E(X)=\dfrac{15}{8}$
だけど、
$\dfrac{15}{8} \lt 2$
なので
$E(X) \lt 2$
だから、$E(X)$は①の信頼区間に含まれていない
解答ニ：１
サシより、
$E(Y)=\dfrac{25}{8}$
$\phantom{ E(Y) }=3.125$
だから、$E(Y)$は②の信頼区間に含まれている
解答ヌ：０
ことが分かる。
よって、基準にしたがうと
太郎さんの記憶は正しくない
と判断される。
解答ネ：１