まず、$\log_{10}285$，$\log_{10}368$の値をそれぞれ求める。

さらに、点$\left(x,\ \log_{10}N\right)$が座標平面上の直線
$y=k(x-22)+p_{1}$①
上にあるときを考える。

$\left(x,\ \log_{10}N\right)$を①式に代入すると
$\log_{10}N=k(x-22)+p_{1}$式Ａ
と表せる。

$x$と$N$の関係式が出来たけど、これは解答群にない。
なので、ちょっと変形しないといけない。

ここで、指数と対数の関係を復習しておくと、

復習

$0 \lt a$，$a\neq 1$，$0 \lt b$ のとき、
$\log_{a}b=c\ \Leftrightarrow\ a^{c}=b$

だった。

復習より、式Ａは
$N=10^{k(x-22)+p_{1}}$式Ｂ
となって、解答群にある形になった。

解答ヘ：２

別解

式Ａを変形するには、次のような方法もある。

$\log_{10}10=1$
だから、式Ａの右辺に$\log_{10}10$をかけても等式は成り立つ。

よって
$$ \begin{align} \log_{10}N&=\{k(x-22)+p_{1}\}\log_{10}10\\ &=\log_{10}10^{k(x-22)+p_{1}} \end{align} $$ とかけるから、
$N=10^{k(x-22)+p_{1}}$式Ｂ
である。

解答ヘ：２

次は、$x=32$のときの、関係式ヘ、つまり式Ｂを満たす$N$の範囲だ。

式Ｂに含まれる文字のうち、$k$の値がまだ分かってない。
なので、$k$を求めることからはじめよう。

問題文より
$k=\dfrac{p_{2}-p_{1}}{25-22}$
だった。

これに$p_{1}$，$p_{2}$の値を代入すると、$k$の値は
$$ \begin{align} k&=\dfrac{2.566-2.455}{25-22}\\ &=\dfrac{0.111}{3} \end{align} $$ である。

これと$p_{1}$の値と$x=32$を式Ｂに代入すると

途中式

$$ \begin{align} N&=10^{\tfrac{0.111}{3}\cdot(32-22)+2.455}\\ &=10^{\tfrac{1.11}{3}+2.455}\\ &=10^{0.37+2.455} \end{align} $$ より

$N =10^{2.825}$
となる。

この
$N=10^{2.825}$
の値が含まれる範囲を問われているわけだ。

これはさらに
$$ \begin{align} N&=10^{2+0.825}\\ &=10^{0.825}\times 10^{2} \end{align} $$ $\phantom{ N } =10^{0.825}\times 100$式Ｃ
とかけるから、
$10^{0.825}$
の値を求めれば、答えが分かる。

ここで、
$10^{0.825}=A$
とおくと、復習から
$\log_{10}A=0.825$
と表せる。

ここで、常用対数表を見ると
$\log_{10}6.67=0.8241$（四捨五入して$0.824$）
$\log_{10}6.68=0.8248$（四捨五入して$0.825$）
$\log_{10}6.69=0.8254$（四捨五入して$0.825$）
$\log_{10}6.70=0.8261$（四捨五入して$0.826$） となっているので、
$\log_{10}6.67 \lt \log_{10}A \lt \log_{10}6.70$
であることが分かる。

底の$10$は$1$より大きいので、これはさらに
$6.67 \lt A \lt 6.70$
となり、$A$をもとにもどすと
$6.67 \lt 10^{0.825} \lt 6.70$式Ｄ
と変形できる。

これを式Ｃの形にする。

式Ｄの３辺を$100$倍すると
$667 \lt 10^{0.825}\times 100 \lt 670$
なので、式Ｃを代入すると、求める$N$の範囲は
$667 \lt N \lt 670$
であることが分かる。

これにあてはまるのは、解答群の
５
である。

解答ホ：５