最初は、計算から。

である。

ここで、$\ell$，$m$，$n$を定数として
$f(x)=\ell x^{2}+mx+n$
とおくと、
$\displaystyle \int_{t}^{t+1}f(x)\,dx=\ell\int_{t}^{t+1}x^{2}\,dx$
$\displaystyle \hspace{120px} +m\int_{t}^{t+1}x\,dx+n\int_{t}^{t+1}1\,dx$
とかけるから、
$\displaystyle \int_{t}^{t+1}f(x)\,dx=\ell\times$式Ｃ$+m\times$式Ｂ$+n\times$式Ａ
である。

したがって、
$\displaystyle \int_{t}^{t+1}f(x)\,dx=\ell\left(t^{2}+t+\dfrac{1}{3}\right)$
$\hspace{120px} +m\left(t+\dfrac{1}{2}\right)+n\cdot 1$
$\hspace{92px} =\ell t^{2}+(\ell+m)t+\left(\dfrac{\ell}{3}+\dfrac{m}{2}+n\right)$
式Ｄ
と計算できる。

また、問題文より
$\displaystyle \int_{t}^{t+1}f(x)\,dx=t^{2}$
だから、
式Ｄ$=t^{2}$
だ。

なので、
$\ell=1$ $\ell+m=0$ $\dfrac{\ell}{3}+\dfrac{m}{2}+n=0$ といえる。

解答ニ：１

これを計算すると、

となる。

$\displaystyle \int_{t}^{t+1}f(x)\,dx=t^{2}$
なので、

$t=1$のとき
$\displaystyle \int_{1}^{2}f(x)\,dx =1^{2}$

$t=2$のとき
$\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)\,dx =2^{2}$

$\hspace{60px} \vdots$

$t=10$のとき
$\displaystyle \int_{10}^{11}f(x)\,dx =10^{2}$

とかける。

以上の式を辺々たすと、
$\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots+10^{2}=\int_{1}^{2}f(x)\,dx+\int_{2}^{3}f(x)\,dx+$
$\displaystyle \hspace{170px} \cdots+\int_{10}^{11}f(x)\,dx$
式Ｅ
と表せる。

ここで、

復習

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx+\int_{\beta}^{\gamma}f(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\gamma}f(x)\,dx$

なので、
$\displaystyle 1^{2}+2^{2}+ \cdots +10^{2} =\int_{1}^{11}f(x)\,dx$
が成り立つ。

解答ヒ：１, フ：１