$1\pm\sqrt{2}i$が解であり、$x^{2}$の係数が$1$の２次方程式は
$\left\{x-\left(1+\sqrt{2}i\right)\right\}\left\{x-\left(1-\sqrt{2}i\right)\right\}=0$
とかける。

これを展開して、求める方程式は
$x^{2}-2x+3=0$
となる。

アドバイス

解と係数の関係を使っても、同様の計算になる。

解答ア：２, イ：３

なので、
$S(x)=x^{2}-2x+3$式Ａ
とおくと、
$S\left(1\pm\sqrt{2}i\right)=0$式Ｂ
である。

また、
割られる数$\div$割る数$=$商$\ldots$余り
は
割られる数$=$割る数$\times$商$+$余り
かきなおせる。

よって、
$P(x)\div S(x)=Q(x)\ldots R(x)$
は
$P(x)=S(x)Q(x)+R(x)$式Ｃ
とかける。

解答ウ：３

$R(x)$は$x$の整式を$x$の２次式で割った余りなので、$x$の１次以下の式だ。
なので、$m$，$n$を実数として
$R(x)=mx+n$式Ｄ
とかける。

いま、
問題文より、$P(x)=0$は$1+\sqrt{2}i$を解にもつので、
$P\left(1+\sqrt{2}i\right)=0$
式Ｂより
$S\left(1+\sqrt{2}i\right)=0$
だ。

なので、式Ｃに$x=1+\sqrt{2}i$を代入すると、
$0 \times Q\left(1+\sqrt{2}i\right)+R\left(1+\sqrt{2}i\right)=0$
より
$R\left(1+\sqrt{2}i\right)=0$式Ｅ
となる。

解答エ：０

したがって、このとき、式Ｄ，式Ｅより
$m\left(1+\sqrt{2}i\right)+n=0$
$m+\sqrt{2}im+n=0$
$(m+n)+\sqrt{2}im=0$
と表せる。

実数と虚数の和が$0$になることはないので、この式が成り立つのは
$\left\{\begin{array}{l}
m+n=0\\
\sqrt{2}im=0
\end{array}\right.$
の場合しかない。

よって、このとき、
$\left\{\begin{array}{l}
m=0\\
n=0
\end{array}\right.$
であることが分かる。

解答オ：０, カ：０

これを式Ｄに代入すると
$$ \begin{align} R(x)&=0x+0\\ &=0 \end{align} $$ となる。

解答キ：３

以上より、式Ｃは
$P(x)=S(x)Q(x)$
であることが分かるけど、式Ｂより、$x=1-\sqrt{2}i$のとき、この式の右辺は$0$だ。

つまり
$P\left(1-\sqrt{2}i\right)=0$
なので、$1-\sqrt{2}i$も$P(x)=0$の解である。

$ P(x)=3x^{4}+2x^{3}+kx+\ell$
を
$S(x)=x^{2}-2x+3$式Ａ
で割ると、

		$3x^{2}$	$+8x$	$+7$
$x^{2}-2x+3$	$)$	$3x^{4}$	$+2x^{3}$		$+kx$	$+\ell$
		$3x^{4}$	$-6x^{3}$	$+9x^{2}$
			$8x^{3}$	$-9x^{2}$	$+kx$
			$8x^{3}$	$-16x^{2}$	$+24x$
				$7x^{2}$	$+(k-24)x$	$+\ell$
				$7x^{2}$	$-14x$	$+21$
					$(k-10)x$	$+\ell-21$

より、

となる。

よって、このとき、$P(x)$は
$P(x)=S(x)Q(x)+R(x)$式Ｆ
$\phantom{ P(x) } =S(x)Q(x)+(k-10)x+\ell-21$
式Ｆ'
とかける。

問題文より、$P(x)=0$は$1+\sqrt{2}i$を解にもつ 式Ｂより、$S(x)=0$は$1+\sqrt{2}i$を解にもつ から、式Ｆ'に$x=1+\sqrt{2}i$を代入すると
$0\times Q\left(1+\sqrt{2}i\right)+(k-10)\left(1+\sqrt{2}i\right)+\ell-21$
$\hspace{270px} =0$
より
$(k-10)\left(1+\sqrt{2}i\right)+\ell-21=0$
と表せる。

これを$i$について整理すると
$\sqrt{2}i(k-10)+\{(k-10)+(\ell-21)\}=0$
なので、この式が成り立つのは
$\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{2}i(k-10)=0\\
(k-10)+(\ell-21)=0
\end{array}\right.$
の場合しかない。

よって、
$\left\{\begin{array}{l}
k=10\\
\ell=21
\end{array}\right.$
であることが分かる。

解答ソ：１, タ：０, チ：２, ツ：１

このときの$P(X)=0$の$x=1+\sqrt{2}i$以外の解を求める。

いま
$R(x)=0$
だから、式Ｆは
$P(x)=S(x)Q(x)$
とかける。

したがって、
$S(x)=0$の解と$Q(x)=0$の解を求めれば、それが$P(x)=0$の解だ。

(1)より、$S(x)=0$の解は
$x=1\pm\sqrt{2}i$
なので、求める解のひとつは
$x=1-\sqrt{2}i$ である。

解答テ：１, ト：２

$P(x)=0$の残りの解は、$Q(x)=0$の解だ。

クケコより
$Q(x)=3x^{2}+8x+7$
なので、$Q(x)=0$の解は、解の公式より
$x=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^{2}-4\cdot 3\cdot 7}}{2\cdot 3}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{ x } &=\dfrac{-8\pm\sqrt{2^{2}\cdot 4^{2}-4\cdot 3\cdot 7}}{2\cdot 3}\\ &=\dfrac{-8\pm 2\sqrt{4^{2}-3\cdot 7}}{2\cdot 3}\\ &=\dfrac{-4\pm\sqrt{-5}}{3} \end{align} $$

$\phantom{ x } =\dfrac{-4\pm\sqrt{5}i}{3}$
となるから、$P(x)$の残りの解も
$x =\dfrac{-4\pm\sqrt{5}i}{3}$ である。

解答ナ：４, ニ：５, ヌ：３