大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試数学Ⅰ 第４問 [2] 解説

(1)

まず、相関係数と散布図の復習から。

復習

以下の散布図は、横軸・縦軸ともに矢印方向が大きい値とする。

左端の散布図のようにすべての点が右上がりの直線上に分布していれば、相関係数は$+1$ 右端の図のように右下がりの直線上に分布していれば、相関係数は$-1$ 点の分布が直線的な配置から乱れるにつれて、相関係数は$0$に近づく

ただし、点が直線的に分布していても、次の図のように縦軸や横軸に平行なときには、相関係数は$0$に近い値になる。

（誤解しないでほしいのだけど、分布の傾きが$0$に近づけば相関係数も$0$に近づくという意味ではない。このへんについてはページをつくって詳しく解説したいけど、当分先の話になるかも。）

特に、下の図のように点が完全に軸に平行に分布しているとき、相関係数は計算できないため存在しない。

問題文中の図２を見ると、データ$Z'$の分布は全然直線的じゃない。

なので、相関係数は、選択肢のうちの
② $0.0$ だと考えられる。

解答ク：２

(2)

$W'$の

$x$の平均値$\overline{x}$は
$\overline{x}=\dfrac{5a}{5}$
$\hspace{14px}=a$

$y$の平均値$\overline{y}$も
$\overline{y}=\dfrac{5a}{5}$
$\hspace{12px}=a$

である。

解答ケ：３

ここで、分散，標準偏差，共分散，相関係数の復習をしておこう。

分散の復習

大きさ$n$のデータ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$があり、
データの平均値を$\overline{x}$ データの各値の２乗の平均値を$\overline{x^{2}}$ とするとき、分散$s^{2}$は
$s^{2}=\dfrac{\left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\overline{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^{2}}{n}$
$\phantom{ s^{2} } =\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}$
とかける。

このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。

標準偏差の復習

標準偏差は、分散の正の平方根なので、
分散を$s^{2}$とすると、標準偏差$s$は
$s=\sqrt{s^{2}}$
である。

共分散の復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの標準偏差を$s_{x}$，$s_{y}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の共分散$s_{xy}$は
$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)\left(y_{1}-\overline{y}\right)+\left(x_{2}-\overline{x}\right)\left(y_{2}-\overline{y}\right)+$
$\hspace{100px} \cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)\left(y_{n}-\overline{y}\right)\}$
である。

相関係数の復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの標準偏差を$s_{x}$，$s_{y}$ $\{x\}$と$\{y\}$の共分散を$s_{xy}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$
である。

復習が終わったところで、問題を解こう。

表１の計算表の空欄は簡単に埋められるから、ぱぱっと表１を完成させてしまおう。
すると、表Ａができる。

表の固定

表Ａ

$x$	$y$	$x-\overline{x}$	$y-\overline{y}$	$\left(x-\overline{x}\right)\left(y-\overline{y}\right)$
$-1$	$-1$	$-1-a$	$-1-a$	$(-1-a)^{2}$$=a^{2}+2a+1$
$-1$	$1$	$-1-a$	$1-a$	$(-1-a)(1-a)$$=a^{2}-1$
$1$	$-1$	$1-a$	$-1-a$	$(1-a)(-1-a)$$=a^{2}-1$
$1$	$1$	$1-a$	$1-a$	$(1-a)^{2}$$=a^{2}-2a+1$
$5a$	$5a$	$4a$	$4a$	$(4a)^{2}$$=16a^{2}$

復習より、$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は表Ａの黄色い部分の平均値なので、

$s_{xy}=\dfrac{1}{5}\{(a^{2} \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{+2a}}} \textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{+1}}})+2(a^2 \textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{-1}}})$
$\hspace{80px}+(a^2 \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{-2a}}} \textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{+1}}})+(16a^{2})\}$
$$ \begin{align} \phantom{ s_{xy}} &=\dfrac{1}{5}\cdot 20a^{2}\\ &=4a^{2} \end{align} $$

である。

解答コ：０

また、復習より、表Ａの青い部分の値を２乗して平均すると$x$の分散が求められる。
$x$の分散の正の平方根が $x$の標準偏差$s_{x}$だ。
式で表すと
$s_{x}=\sqrt{x\text{の分散}}$
である。

同様に、表Ａの緑の部分の値を２乗して平均すると$y$の分散になり、その正の平方根が$y$の標準偏差$s_{y}$だから、
$s_{y}=\sqrt{y\text{の分散}}$
となる。

なので、ここで問われている
$s_{x}s_{y}=\sqrt{x\text{の分散}}\times\sqrt{y\text{の分散}}$式Ａ
とかける。

ここで表Ａを見ると、青い部分と緑の部分は同じ値の順番が変わっているだけだ。
なので
$x$の分散$=y$の分散
といえる。

よって、式Ａは
$s_{x}s_{y}=\sqrt{x\text{の分散}}\times\sqrt{x\text{の分散}}$
$\hspace{34px}=x\text{の分散}$
となるから、$x$の分散を求めれば、それがサだ。

あとは、計算。

$x$の分散$=\dfrac{1}{5}\{(-1-a)^{2}+(-1-a)^{2}$
$\hspace{100px}+(1-a)^{2}+(1-a)^{2}+(4a)^{2}\}$

これを計算すると

途中式

$$ \begin{align} x\text{の分散}&=\dfrac{1}{5}\{2(-1-a)^{2}+2(1-a)^{2}+(4a)^{2}\}\\ &=\dfrac{1}{5}\{4(1+a^{2})+(4a)^{2}\}\\ &=\dfrac{4}{5}(1+a^{2}+4a^{2})\\ &=\dfrac{4}{5}(1+5a^{2}) \end{align} $$
より

$x$の分散$=4a^{2}+\dfrac{4}{5}$
であることが分かる。

よって、求める$s_{x}s_{y}$も
$s_{x}s_{y}=4a^{2}+\dfrac{4}{5}$
となる。

解答サ：２

さらに、復習より、相関係数を$r_{xy}$とすると、
$r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$
なので、これにコサを代入して
$r_{xy}=\dfrac{4a^{2}}{4a^{2}+\cfrac{4}{5}}$
と表せる。

これが$0.95$以上になるから、
$\dfrac{4a^{2}}{4a^{2}+\cfrac{4}{5}}\geqq 0.95$
より
$4a^{2}\geqq 0.95\left(4a^{2}+\dfrac{4}{5}\right)$
とかける。

これを計算すると

途中式

両辺を$4$で割って$100$倍して、
$100a^{2}\geqq 95\left(a^{2}+\dfrac{1}{5}\right)$
$100a^{2}-95a^{2} \geqq 95\cdot\dfrac{1}{5}$
$5a^{2}\geqq\dfrac{95}{5}$

$a^{2}\geqq\dfrac{95}{5^{2}}$
なので、求める$a$の範囲は
$a\leqq-\dfrac{\sqrt{95}}{5}$，$\dfrac{\sqrt{95}}{5}\leqq a$
である。

解答シ：３