大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試数学Ⅰ 第１問 [2] 解説

(1)

最初に、集合の関係を表にしておこう。

図の固定

表Ａ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$A$	○			○				○		○
$B$			○	○		○		○	○

$\overline{A}\cap\overline{B}$は、集合$A$にも集合$B$にも含まれない部分。
なので、表Ｂの赤い部分だ。

図の固定

表Ｂ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$A$	○			○				○		○
$B$			○	○		○		○	○

解答サ：１, シ：４, ス：６

別解

ド・モルガンの法則より
$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$
とかける。

$A\cup B$は表Ｃの緑の部分。

図の固定

表Ｃ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$A$	○			○				○		○
$B$			○	○		○		○	○

なので、$\overline{A\cup B}$、つまり$\overline{A}\cap\overline{B}$は、表Ｃの赤い部分である。

解答サ：１, シ：４, ス：６

次に、集合$D$を考える。

まず、$\overline{A}\cap\overline{B}$と$D$の関係から。

サ～スで求めた集合$\overline{A}\cap\overline{B}$と、集合$C$を表にすると、表Ｄができる。

図の固定

表Ｄ

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$\overline{A}\cap\overline{B}$		○			○		○
$C$		○			○	○		○	○

いま
$\overline{A}\cap\overline{B} \subset\ D$
なので、$\overline{A}\cap\overline{B}$の要素はすべて$D$に含まれる。

表Ｄを見ると、$\overline{A}\cap\overline{B}$の要素のうち$6$が$C$に含まれていない。
なので、$D$は、
集合$C$に$6$を付け加えた集合であることが分かる。

解答セ：３

次は、$D\cap B$と$\overline{A}\cap B$の関係だ。

$D\cap B$と$\overline{A}\cap B$は両方とも集合$B$との共通部分なので、
$D\cap B\subset\overline{A}\cap B$ は
$B$を全体集合と考えて、$D\subset\overline{A}$ と言いかえられる。

集合$B$と$C$，$\overline{A}$は、表Ｅのような関係だ。

図の固定

表Ｅ

$U$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$B$		○	○		○		○	○
$C$	○			○	○		○	○
$\overline{A}$	○	○		○	○	○		○

集合$B$を全体集合と考えるので、$B$に含まれないグレーの部分は無視する。

いま
$D\subset\overline{A}$
なので、$D$の要素はすべて$\overline{A}$に含まれる。

表Ｅを見ると、$C$の要素のうち$7$が$\overline{A}$に含まれていない。
なので、$D$は
集合$C$から$7$を取り除いた集合であることが分かる。

解答ソ：８

(2)

アドバイス

必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$p\Rightarrow q \quad$×
$p\Leftarrow q\quad$○
なので、必要条件

みたいに解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。なので、図や表で表せるときは、集合の大小で考える方がおすすめ。

必要条件・十分条件と集合

図Ｆで、
$p$は$q$の必要条件 $q$は$p$の十分条件である。
つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件小さい集合は大きい集合の十分条件である。

「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。

また、

図Ｇのようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件

図Ｈのように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない

ことになる。

とはいうものの、チは図を描くのが難しい。時間もかかるし。

なので、チに関しては図を描かない方がおすすめかも。図を描く方法は別解を見てほしい。

以下、$x \gt 0$，$y \gt 0$のときを考える。

$x+y \lt 1$
を変形すると
$y \lt -x+1$
なので、この集合は図Ｉの緑の部分（境界線を含まない）。

$x \lt 1$かつ$y \lt 1$の集合は、図Ｉの赤で囲んだ部分（境界線を含まない）。

図の固定

図Ｉを見ると、二つの集合はアドバイスの図Ｆのように一方がもう一方を含む関係で、緑が小さい集合だ。
よって、
「$x+y \lt 1$」は「$x \lt 1$かつ$y \lt 1$」であるための
十分条件であるが、必要条件ではないことが分かる。

解答タ：１

$(x+y)xy \lt 2$
に、例えば
$\left\{\begin{array}{l}
x=2\\
y=\dfrac{1}{4}
\end{array}\right.$式Ａ
を代入すると
$\left(2+\dfrac{1}{4}\right)\cdot 2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{8} \lt 2$
となって、成り立つ。

式Ａは「$x \lt 1$かつ$y \lt 1$」に含まれないから、これが反例となって
「$(x+y)xy \lt 2$」$\Rightarrow$「$x \lt 1$かつ$y \lt 1$」は偽

$x \lt 1$と$y \lt 1$を辺々たすと、
$x+y \lt 2$式Ｂ
とかける。

詳しく

これは
$x \lt 1$の両辺に$y$をたして、 $x+y \lt y+1$式Ｃ
$y \lt 1$の両辺に$1$をたして、 $y+1 \lt 2$式Ｄ
式Ｃと式Ｄをあわせて、 $x+y \lt y+1 \lt 2$
より
$x+y \lt 2$
としても計算できる。

$x \gt 0$，$y \gt 0$なので、式Ｂと$x \lt 1$，$y \lt 1$を辺々かけると、
$(x+y)xy \lt 2$
となる。

詳しく

これは
$xy \gt 0$なので、式Ｂの両辺に$xy$をかけて、 $(x+y)xy \lt 2xy$式Ｅ
$y \gt 0$なので、$x \lt 1$の両辺に$y$をかけて、 $xy \lt y$
より
$2xy \lt 2y$式Ｆ
$y \lt 1$の両辺に$2$をかけて、 $2y \lt 2$式Ｇ
式Ｅ，式Ｆ，式Ｇをあわせて、 $(x+y)xy \lt 2xy \lt 2y \lt 2$
なので
$(x+y)xy \lt 2$
としても計算できる。

よって、
「$(x+y)xy \lt 2$」$\Leftarrow$「$x \lt 1$かつ$y \lt 1$」は真

以上より、
「$(x+y)xy \lt 2$」 $\left\{\begin{array}{l} \Rightarrow\times\\ \text{○}\Leftarrow \end{array}\right\}$ 「$x \lt 1$かつ$y \lt 1$」なので、「$(x+y)xy \lt 2$」は「$x \lt 1$かつ$y \lt 1$」であるための
必要条件であるが、十分条件ではないことになる。

解答チ：０

別解

図（グラフ）を描いて解くと、次のようになる。

$(x+y)xy \lt 2$式Ｈ
の集合はぱっと図にできない。
なので、中学生がグラフを描くような方法をやってみる。
つまり、点をとる。

$(x+y)xy=2$のグラフを考えると、

$x=1$のとき、

途中式

$(1+y)\cdot 1\cdot y=2$
$y^{2}+y-2=0$
$(y-1)(y+2)=0$
$y=1$，$-2$
だけど、$y\leqq 0$は不適なので

$y=1$

$x=2$のとき、

途中式

$(2+y)\cdot 2\cdot y=2$
$(2+y)y=1$
$y^{2}+2y-1=0$
$y=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}$
$\phantom{ y } =-1\pm\sqrt{2}$
だけど、$y\leqq 0$は不適なので

$y=-1+\sqrt{2}$
$\phantom{ y } \doteqdot 0.414$

$(x+y)xy=2$の$x$と$y$を入れかえても同じ式になるから
グラフは$y=x$に関して対称なので、
$x=-1+\sqrt{2}$ のとき $y=2$

以上より、$(x+y)xy=2$のグラフは図Ｊの緑の線。

式Ｈに、例えば$x=\dfrac{1}{2}$，$y=\dfrac{1}{2}$を代入すると成り立つので、式Ｈの集合は緑の線から見て$\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)$（図Ｊの青い点）がある側、つまり左下である。

よって、式Ｈの集合は図Ｊの緑の部分（境界線を含まない）。

$x \lt 1$かつ$y \lt 1$は、図Ｊの赤で囲んだ部分（境界線を含まない）。

図の固定

図Ｊを見ると、二つの集合はアドバイスの図Ｆのように一方がもう一方を含む関係で、緑が大きい集合だ。
よって、
「$(x+y)xy \lt 2$」は「$x \lt 1$かつ$y \lt 1$」であるための
必要条件であるが、十分条件ではないことが分かる。

解答チ：０