大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試 数学ⅠA 第2問 [1] 解説

ア~オ

①式に$(100,1250)$,$(200,450)$,$(300,50)$を代入すると、連立方程式
$10000a+100b+c=1250$式A1 $40000a+200b+c=450$式A2 $90000a+300b+c=50$式A3 ができる。

これを解いて、

途中式

式A2から式A1を引いて、
$30000a+100b=-800$
より
$300a+b=-8$式B1

式A3から式A2を引いて、
$50000a+100b=-400$
より
$500a+b=-4$式B2

式B2から式B1を引いて、
$200a=4$
$$ \begin{align} a&=\dfrac{4}{200}\\ &=\dfrac{1}{50} \end{align} $$ となる。

これを式B2に代入すると、
$500\times\dfrac{1}{50}+b=-4$
$b=-4-10$
となるから、

$b=-14$
である。

解答ア:-, イ:1, ウ:4

よって、①式は
$y=\dfrac{1}{50}x^{2}-14x+c$
とかける。


問題文より、利益を$z$とすると、
$ z=(x-80)\times$[売り上げ数]$-5000$式C
と表せる。

売り上げ数の式は①式なので、①式の右辺を式Cの[売り上げ数]に代入すると、利益$z$は
$z=(x-80)\times(x$の二次式$)-5000$
となるから、$x$の三次式だ。

解答エ:3

また、式Cを見ると、[売り上げ数]に$x$の式を代入したとき、$z$が二次式になるのは、
売り上げ数の式が$x$の一次式のとき であることが分かる。

解答オ:1

カ~ス

売り上げ数の式を
$y=-4x+1160$
とすると、利益$z$の式は、式Cの[売り上げ数]に②式の右辺を代入して、
$z=(x-80)(-4x+1160)-5000$
とかける。

これを整理して、②による利益$z$の式は
$z=-4x^{2}+1480x-97800$式D
となる。

解答カ:4,
キ:1, ク:4, ケ:8, コ:0


式Dのグラフは上に凸の放物線だ。
なので、頂点が定義域に含まれれば、$z$が最大になるのは頂点のとき。
というわけで、頂点の$x$座標を求める。
式Dを平方完成するのは面倒なので、

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
$x=\dfrac{-b}{2a}$

を使う。

復習より、式Dのグラフの頂点の$x$座標は
$$ \begin{align} x&=\dfrac{-1480}{2\cdot(-4)}\\ &=185 \end{align} $$ である。

いま、定義域は$100\leqq x\leqq 300$なので、頂点は定義域に含まれる。
よって、$z$が最大になる$x$を$p$とすると、
$p=185$
となる。

解答サ:1, シ:8, ス:5

セソ

問題文中の図3を見ると、$x$がどんな値でも
②$ \lt $① ③$ \lt $① だ。

利益は この①,②,③を式Cの[売り上げ数]に代入したものだから、
②による利益$ \lt $①による利益 ③による利益$ \lt $①による利益 より
②による利益の最大値$ \lt $①による利益の最大値 ③による利益の最大値$ \lt $①による利益の最大値 と考えられる。

ここで、問題文から
②による利益の最大値$=39100$ ③による利益の最大値$=50112$ であることが分かっている。

よって、①による利益の最大値を$M$とすると、
$\left\{\begin{array}{l}
39100 \lt M\\
50112 \lt M
\end{array}\right.$
より
$50112 \lt M$式E
なので、解答群の⓪~②は不適。

正解は③,④と考えられるけど、念のために⑤,⑥も検討しておく。


利益が最大のときの$x$が
$x=163$であるのは、③を使って計算したとき $x=p$であるのは、②を使って計算したとき であって、①を使って計算したときじゃない。
なので、①の利益の最大値$M$とは無関係。

よって、解答群の⑤,⑥も不適。


以上より、解答群のうち正しいものは
③,④
である。

解答セ:3, ソ:4 (順不同)

問題文中の図4を見ると、$100\leqq x\leqq 300$において、
①<④ だ。

利益は この①,④を式Cの[売り上げ数]に代入したものだから、
①による利益$ \lt $④による利益 より
①による利益の最大値$ \lt $④による利益の最大値 と考えられる。

ここで、問題文から
④による利益の最大値$=74350$ であることが分かっている。

よって、①による利益の最大値$M$は
$M \lt 74350$ である。

これと式Eを合わせると、$M$の範囲は
$50112 \lt M \lt 74350$ となるので、解答群のうち正しいものは

だ。

解答タ:2