①式に$(100,1250)$，$(200,450)$，$(300,50)$を代入すると、連立方程式
$10000a+100b+c=1250$式Ａ1 $40000a+200b+c=450$式Ａ2 $90000a+300b+c=50$式Ａ3 ができる。

これを解いて、

途中式

式Ａ2から式Ａ1を引いて、
$30000a+100b=-800$
より
$300a+b=-8$式Ｂ1

式Ａ3から式Ａ2を引いて、
$50000a+100b=-400$
より
$500a+b=-4$式Ｂ2

式Ｂ2から式Ｂ1を引いて、
$200a=4$
$$ \begin{align} a&=\dfrac{4}{200}\\ &=\dfrac{1}{50} \end{align} $$ となる。

これを式Ｂ2に代入すると、
$500\times\dfrac{1}{50}+b=-4$
$b=-4-10$
となるから、

$b=-14$
である。

解答ア：－, イ：１, ウ：４

よって、①式は
$y=\dfrac{1}{50}x^{2}-14x+c$①
とかける。

問題文より、利益を$z$とすると、
$ z=(x-80)\times$［売り上げ数］$-5000$式Ｃ
と表せる。

売り上げ数の式は①式なので、①式の右辺を式Ｃの［売り上げ数］に代入すると、利益$z$は
$z=(x-80)\times(x$の２次式$)-5000$
となるから、$x$の３次式だ。

解答エ：３

また、式Ｃを見ると、［売り上げ数］に$x$の式を代入したとき、$z$が２次式になるのは、
売り上げ数の式が$x$の１次式のとき であることが分かる。

解答オ：１

式Ｄのグラフは上に凸の放物線だ。
なので、頂点が定義域に含まれれば、$z$が最大になるのは頂点のとき。
というわけで、頂点の$x$座標を求める。
式Ｄを平方完成するのは面倒なので、

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
$x=\dfrac{-b}{2a}$

を使う。

復習より、式Ｄのグラフの頂点の$x$座標は
$$ \begin{align} x&=\dfrac{-1480}{2\cdot(-4)}\\ &=185 \end{align} $$ である。

いま、定義域は$100\leqq x\leqq 300$なので、頂点は定義域に含まれる。
よって、$z$が最大になる$x$を$p$とすると、
$p=185$
となる。

解答サ：１, シ：８, ス：５

問題文中の図３を見ると、$x$がどんな値でも
②$ \lt $① ③$ \lt $① だ。

利益は この①，②，③を式Ｃの［売り上げ数]に代入したものだから、
②による利益$ \lt $①による利益 ③による利益$ \lt $①による利益 より
②による利益の最大値$ \lt $①による利益の最大値 ③による利益の最大値$ \lt $①による利益の最大値 と考えられる。

ここで、問題文から
②による利益の最大値$=39100$ ③による利益の最大値$=50112$ であることが分かっている。

よって、①による利益の最大値を$M$とすると、
$\left\{\begin{array}{l}
39100 \lt M\\
50112 \lt M
\end{array}\right.$
より
$50112 \lt M$式Ｅ
なので、解答群の⓪～②は不適。

正解は③，④と考えられるけど、念のために⑤，⑥も検討しておく。

問題文中の図４を見ると、$100\leqq x\leqq 300$において、
①＜④ だ。

利益は この①，④を式Ｃの［売り上げ数]に代入したものだから、
①による利益$ \lt $④による利益 より
①による利益の最大値$ \lt $④による利益の最大値 と考えられる。

ここで、問題文から
④による利益の最大値$=74350$ であることが分かっている。

よって、①による利益の最大値$M$は
$M \lt 74350$ である。

これと式Ｅを合わせると、$M$の範囲は
$50112 \lt M \lt 74350$ となるので、解答群のうち正しいものは
②
だ。

解答タ：２