大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

解説

$(x+n)(n+5-x)$式A
を展開するんだけど、問題文中のアがある式を見ると、右辺に$x(5-x)$がある。
なので、$5-x$はかたまりのままおいておこう。
$5-x=M$
とおくと、式Aは
$(x+n)(n+M)$
とかける。
これを展開して、
$=xn+xM+n^{2}+nM$
$M$をもとにもどして、
$=xn+x(5-x)+n^{2}+n(5-x)$
$=x(5-x)+n^{2}+5n+xn-xn$
$=x(5-x)+n^{2}+5n$
となる。

解答ア:5


よって、問題文中のアがある式は
$(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^{2}+5n$
なので、$X=x(5-x)$とおくと、
$(x+n)(n+5-x)=X+n^{2}+5n$式B
とかける。

問題の流れから、式Bを使って$A$の式を簡単にするのだろうと予想できる。
$A$の式を
$A=$$(x+0)$$(x+1)$$(x+2)$$(5-x)$$(6-x)$$(7-x)$式C
と考えると、
赤い部分の数字は、$0$と、それに$5$をたした$5$ 青い部分の数字は、$1$と、それに$5$をたした$6$ 緑の部分の数字は、$2$と、それに$5$をたした$7$ であることに気づく。

なので、
$n=0$のとき、式Bは
$(x+0)(0+5-x)=X+0^{2}+5\cdot 0$
$x(5-x)=X$
となり、式Cの赤い部分ができる。
$n=1$のとき、式Bは
$(x+1)(1+5-x)=X+1^{2}+5\cdot 1$
$(x+1)(6-x)=X+6$
となり、式Cの青い部分ができる。
$n=2$のとき、式Bは
$(x+2)(2+5-x)=X+2^{2}+5\cdot 2$
$(x+2)(7-x)=X+14$
となり、式Cの緑の部分ができる。
これを式Cに代入して、
$A=X(X+6)(X+14)$式D
である。

解答イ:6, ウ:1, エ:4


次は、$x=\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}$のとき、$X$の値を求める問題。
$X=x(5-x)$に$x=\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}$を代入すると.....計算が面倒だねぇ。
なので、お約束の方法を使う。つまり、2乗して√を消す。

$x=\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}$
をそのまま2乗しても√は消えないので、ちょっと変形。右辺を√の項だけにしよう。
$2x=5+\sqrt{17}$
$2x-5=\sqrt{17}$
この式の両辺を2乗して、
$(2x-5)^{2}=\sqrt{17}^{2}$
途中式 $4x^{2}-4\cdot 5x+5^{2}=17$
$4x(x-5)=17-5^{2}$
$4x(x-5)=-8$
$x(x-5)=-2$式E
となる。

ここで、
$X=x(5-x)$
$X$$=-x(x-5)$
なので、式Eより
$X=2$
である。

解答オ:2


あとは、このときの$A$の値だ。
$X=2$を式Dに代入して、
$A=2(2+6)(2+14)$
途中式 $A$$=2\cdot 8\cdot 16$
$A$$=2\cdot 2^{3}\cdot 2^{4}$
$A$$=2^{1+3+4}$
$A$$=2^{8}$
となる。

解答カ:8