まず、箱ひげ図の復習をしよう。

復習

図の固定

範囲は、最大値$-$最小値
四分位範囲は、第３四分位数$-$第１四分位数

だった。

復習が終わったところで、⓪～⑥の選択肢をひとつずつ確認する。

⓪ 問題文中の図２を見ると、範囲が最も大きいのは男子短距離。なので誤り。

① 四分位範囲は、箱ひげ図の箱の幅にあたる。
問題文中の図２の点線で描かれた目盛は、２刻み。箱の幅が一番大きい男子短距離でも約５目盛分だから、10前後である。なので、正しい。

② 問題文中の図２より、男子長距離の中央値は176付近。図１のヒストグラムを見ると、度数が最大の階級は170以上175未満。この階級に中央値は含まれないので、誤り。

③ 問題文中の図２より、女子長距離の第１四分位数は161付近。図１のヒストグラムを見ると、度数が最大の階級は165以上170未満。この階級に第１四分位数は含まれないので、誤り。

④ 問題文中の図２より、最大値が最も大きいのは男子短距離。なので、誤り。

⑤ 問題文中の図２より、最小値が最も小さいのは女子短距離。なので、誤り。

⑥ 問題文中の図２より、男子短距離の中央値も、男子長距離の第３四分位数も、181付近。なので、正しい。

以上より、正しいものは①⑥である。

解答サ：１, シ：６ （順不同）

ここからは、$Z$について考えないといけない。
$Z=\displaystyle \frac{W}{X}$
なので、原点からその点に引いた直線の傾きと考えられる。

例えば、$X$が$3.5$，$W$が$70$の選手の$Z$は
$\displaystyle \frac{70}{3.5}=20$
だけど、これは原点から$(3.5,70)$に引いた直線の傾きである。（図Ｄ）
言いかえると、散布図で傾きが$20$の直線上にある点は、$Z$の値が$20$である。
問題文中の図３の散布図だと、$l_{1}$上の点は$Z$が$15$であり、$l_{2}$上の点は$Z$が$20$である。また、$l_{1}$と$l_{2}$の間にある点は、$Z$が$15$と$20$の間の値であると考えられる。

図３の散布図を見ると、点の分布の中心が
男子短距離は、$l_{2}$と$l_{3}$の間 男子長距離は、$l_{2}$付近 女子短距離は、$l_{2}$より若干上 女子長距離は、$l_{1}$と$l_{2}$の間 にあるので、$Z$の中央値は
男子短距離は、$20$と$25$の間 男子長距離は、$20$付近 女子短距離は、$20$よりちょっと大きい 女子長距離は、$15$と$20$の間 にあると考えられる。

また、$Z$の最大値、つまり最も左上にある点は、
男子短距離は、$l_{4}$付近 男子長距離は、$l_{3}$と$l_{4}$の間の$l_{4}$寄り 女子短距離は、$l_{3}$と$l_{4}$のちょうど真ん中あたり 女子長距離は、$l_{2}$と$l_{3}$の間 にあるので、$Z$の最大値は
男子短距離は、$30$付近 男子長距離は、$25$と$30$の間の$30$寄り 女子短距離は、$27$～$28$付近 女子長距離は、$20$と$25$の間 にあると考えられる。

以上より、箱ひげ図は
男子短距離が、(a) 男子長距離が、(c) 女子短距離が、(b) 女子長距離が、(d) であることが分かる。

ここまで分かったところで、選択肢の検討を続けよう。

① 問題文中の図４より、中央値が一番大きいのは(a)の男子短距離。なので、誤り。

② 問題文中の図４より、範囲、つまり箱ひげ図の幅が最小なのは(d)の女子長距離。なので、誤り。

③ 問題文中の図４より、(a)の男子短距離は、四分位範囲、つまり箱ひげ図の箱の幅は最大である。なので、誤り。

④ 問題文中の図４より、(d)の女子長距離の最大値は25未満。なので、正しい。

⑤ 男子長距離の箱ひげ図は(c)なので、正しい。

以上より、正しいものは④⑤である。

解答ス：４, セ：５ （順不同）

まず、共分散の復習から。

復習

データ$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$と$b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$があり、それぞれの平均値を$\overline{a}$，$\overline{b}$とするとき、共分散$s_{ab}$は
$s_{ab}=\displaystyle \frac{1}{n}\{$$(a_{1}-\overline{a})(b_{1}-\overline{b})+(a_{2}-\overline{a})(b_{2}-\overline{b})+$
               $\cdots+(a_{n}-\overline{a})(b_{n}-\overline{b})$$\}$式Ａ
$s_{ab}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}$$-\overline{a}\cdot\overline{b}$式Ｂ
だった。

これを知っていれば、問題文中の
$(x_{1}-\overline{x})(w_{1}-\overline{w})+(x_{2}-\overline{x})(w_{2}-\overline{w})+$
               $\cdots+(x_{n}-\overline{x})(w_{n}-\overline{w})$
は、式Ａの赤い部分
$x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots+x_{n}w_{n}$
は、式Ｂの赤い部分
であることに気づく。

なので、式Ａ，式Ｂより
$\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})(w_{1}-\overline{w})+(x_{2}-\overline{x})(w_{2}-\overline{w})+$
               $\cdots+(x_{n}-\overline{x})(w_{n}-\overline{w})\}$
       $=\displaystyle \frac{1}{n}(x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots+x_{n}w_{n})-\overline{x}\cdot\overline{w}$
とかける。

この式の両辺を$n$倍すると
$(x_{1}-\overline{x})(w_{1}-\overline{w})+(x_{2}-\overline{x})(w_{2}-\overline{w})+$
               $\cdots+(x_{n}-\overline{x})(w_{n}-\overline{w})$
       $=x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots+x_{n}w_{n}-n\cdot\overline{x}\cdot\overline{w}$
となるので、正解は２である。

解答ソ：２