$f(x)$がどんな関数か分からないので、$1\leqq x$の範囲で$f(x)\leqq 0$となるようなグラフを図Ａにいいかげんに描いた。グラフの形はでたらめです。

$W$は、図Ａの赤い部分の面積。
赤い部分は$x$軸より下にあるので、
$W=-\displaystyle \int_{1}^{t}f(x)dx$
$W$$=-(F(t)-F(1))$
$W$$=-F(t)+F(1)$式Ａ
とかける。

解答テ：４

この$W$が図Ｂの三角形と同じ面積である。

三角形の高さを$h$とすると、三平方の定理より、
$h^{2}+\left(\frac{2t^{2}-2}{2}\right)^{2}=(t^{2}+1)^{2}$
とかける。

これを計算して、

途中式

$h^{2}+(t^{2}-1)^{2}=(t^{2}+1)^{2}$
$h^{2}=(t^{2}+1)^{2}-(t^{2}-1)^{2}$
$h^{2}=4t^{2}$
$0 \lt h$なので、

$h=2t$
である。
なので、三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}(2t^{2}-2)\cdot 2t$
$=2t^{3}-2t$
となる。

これを式Ａに代入して、
$-F(t)+F(1)=2t^{3}-2t$
$F(t)=-2t^{3}+2t+F(1)$式Ｂ
とかける。

ツより、$F'(x)=f(x)$ $F(1)$は$F(x)$の$x$に$1$を代入したものなので、定数 なので、式Ｂの両辺を微分すると、
$f(t)=-6t^{2}+2$
であることが分かる。

解答ト：－, ナ：６, ニ：２, ヌ：２