大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡB 第2問 [2] 解説

解説

復習

微分と積分は逆の関係にある。
$\displaystyle \int f(x)dx=F(x)$
であれば、
$F'(x)=f(x)$
である。
つまり、積分して微分すると、もとの式にもどる。

ただし、
$F'(x)=f(x)$
であれば
$\displaystyle \int f(x)dx=F(x)$
とは言えない。
先に微分をしたとき定数項が消えてしまい、あとで積分しても定数項は消えたままである。
不定積分の時に出てくる$C$(積分定数)は、消えた定数項を表している。

復習より、
$F'(x)=f(x)$
である。

解答ツ:7


図A
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡB第2問[2] 解説図A

$f(x)$がどんな関数か分からないので、$1\leqq x$の範囲で$f(x)\leqq 0$となるようなグラフを図Aにいいかげんに描いた。グラフの形はでたらめです。

$W$は、図Aの赤い部分の面積。
赤い部分は$x$軸より下にあるので、
$W=-\displaystyle \int_{1}^{t}f(x)dx$
$W$$=-(F(t)-F(1))$
$W$$=-F(t)+F(1)$式A
とかける。

解答テ:4


この$W$が図Bの三角形と同じ面積である。

図B
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡB第2問[2] 解説図B

三角形の高さを$h$とすると、三平方の定理より、
$h^{2}+\left(\frac{2t^{2}-2}{2}\right)^{2}=(t^{2}+1)^{2}$
とかける。

これを計算して、
途中式 $h^{2}+(t^{2}-1)^{2}=(t^{2}+1)^{2}$
$h^{2}=(t^{2}+1)^{2}-(t^{2}-1)^{2}$
$h^{2}=4t^{2}$
$0 \lt h$なので、
$h=2t$
である。
なので、三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}(2t^{2}-2)\cdot 2t$
$=2t^{3}-2t$
となる。

これを式Aに代入して、
$-F(t)+F(1)=2t^{3}-2t$
$F(t)=-2t^{3}+2t+F(1)$式B
とかける。


ツより、$F'(x)=f(x)$ $F(1)$は$F(x)$の$x$に$1$を代入したものなので、定数 なので、式Bの両辺を微分すると、
$f(t)=-6t^{2}+2$
であることが分かる。

解答ト:-, ナ:6, ニ:2, ヌ:2