問題文の指示に従って、
$x^{\log_{3}x}\geqq\left(\frac{x}{c}\right)^{3}$②
の両辺の対数をとる。
$0 \lt c$なので真数条件を満たしているし、底は$3$なので不等号の向きは変わらない。
$\log_{3}x^{\log_{3}x}\geqq\log_{3}\left(\frac{x}{c}\right)^{3}$
という式ができる。

これを変形して、
$\displaystyle \log_{3}x\times\log_{3}x\geqq 3\log_{3}\frac{x}{c}$
$(\log_{3}x)^{2}\geqq 3(\log_{3}x-\log_{3}c)$
$(\log_{3}x)^{2}-3\log_{3}x+3\log_{3}c\geqq 0$
となる。

さらに、問題文の指示通り$t=\log_{3}x$とおけば、この式は
$t^{2}-3t+3\log_{3}c\geqq 0$③
となる。

解答ソ：２, タ：３

$c=\sqrt[3]{9}$のとき、②を解く。
$c=\sqrt[3]{9}$
$c$$=\sqrt[3]{3^{2}}$
$c$$=3^{\frac{2}{3}}$
なので、これを③に代入すると、
$t^{2}-3t+3\log_{3}3^{\frac{2}{3}}\geqq 0$
$t^{2}-3t+3\displaystyle \cdot\frac{2}{3}\log_{3}3\geqq 0$
$t^{2}-3t+2\geqq 0$
ができる。

これを解くと、
$(t-1)(t-2)\geqq 0$
$t\leqq 1$，$2\leqq t$式Ａ
である。

解答チ：１, ツ：２

ここで、$t=\log_{3}x$なので、式Ａは
$\log_{3}x\leqq 1$，$2\leqq\log_{3}x$
と書きなおせる。
両辺とも対数じゃないと比較ができないから、この式の$1$と$2$を対数にしよう。
$\log_{3}3=1$なので、かけても値は変わらないから、

$\log_{3}x\leqq 1\cdot\log_{3}3$
$\log_{3}x\leqq\log_{3}3$
底は$1$より大きいので、
$x\leqq 3$
真数条件より$0 \lt x$なので、
$0 \lt x\leqq 3$
$2\cdot\log_{3}3\leqq\log_{3}x$
$\log_{3}3^{2}\leqq\log_{3}x$
底は$1$より大きいので、
$3^{2}\leqq x$
$9\leqq x$

である。

解答テ：０, ト：３, ナ：９

次は、$0 \lt x$のときの$t$の範囲を問われている。
定義域が指定されているときの値域なので、
$t=\log_{3}x$
のグラフを描いてみよう。

定義域は、図Ａの緑の範囲。
この範囲で、グラフは上へも下へも無限に伸びていて、すべての$t$座標をカバーしている。
なので、$t$のとり得る値の範囲は、実数全体である。

解答ニ：２

ということは、
式②が$0 \lt x$の範囲でつねに成り立つ は、
式③がすべての実数$t$について成り立つ と言いかえられる。

ここからは、見慣れた２次不等式の問題だ。
式③の解がすべての実数になればよい。
なので、$y=t^{2}-3t+3\log_{3}c$のグラフが、横軸と交わってはダメ（接するのはOK）。
ということで、判別式だ。

式③の左辺の判別式より、
$D=3^{2}-4\cdot 1\cdot 3\log_{3}c\leqq 0$
               $3-4\log_{3}c\leqq 0$
                            $3\leqq 4\log_{3}c$
                           $\displaystyle \frac{3}{4}\leqq\log_{3}c$
となる。

解答ヌ：３, ネ：４

この式は、左辺が$\log$じゃない。
なので、$\log_{3}3$をかけて$\log$にしよう。
$\log_{3}3=1$なので、かけても値は変わらない。
$\displaystyle \frac{3}{4}\log_{3}3\leqq\log_{3}c$
$\log_{3}3^{\frac{3}{4}}\leqq\log_{3}c$
底は$1$より大きいので、
$3^{\frac{3}{4}}\leqq c$
$\sqrt[4]{3^{3}}\leqq c$
$\sqrt[4]{27}\leqq c$
である。

解答ノ：４, ハ：２, ヒ：７