大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅠA 第3問 解説

問題を解く準備

さいころ2個の問題なので、表を書こう。

表A
大きいさいころ
1 2 3 4 5 6






1 $A$ $B$
2 $A$ $B$
3 $A\cap B$ $C$
4 $B$ $A$ $C$
5 $B$ $A\cap C$
6 $B$ $C$ $A$

表Aで、
$A$は事象$A$ $B$は事象$B$ $C$は事象$C$ である。

表ができたところで問題を解こう。

(1)

表Aのマスは全部で$6^{2}$個。
$A$のマスは6個。
すべてのマスは同じ確率で起こるので、
$P(A)=\displaystyle \frac{6}{6^{2}}$
$P(A)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6}$
である。

解答ア:1, イ:6


$B$のマスも6個なので、
$P(B)=\displaystyle \frac{6}{6^{2}}$
$P(B)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6}$
である。

解答ウ:1, エ:6


$C$のマスは4個なので、
$P(C)=\displaystyle \frac{4}{6^{2}}$
$P(A)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{9}$
である。

解答オ:1, カ:9

(2)

条件付き確率とは、条件が起こる場合を全事象として、それ以外はないものとした確率である。
なので、「事象$C$が起こったときの条件付き確率」は、事象$C$が起こらない場合は考えないということだ。
つまり、表Bのグレーの部分は考えない。

表B
大きいさいころ
1 2 3 4 5 6






1 $A$ $B$
2 $A$ $B$
3 $A\cap B$ $C$
4 $B$ $A$ $C$
5 $B$ $A\cap C$
6 $B$ $C$ $A$

表Bで、すべてのマスは4個。
$A$のマスは1個。
すべてのマスは同じ確率で起こるので、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{1}{4}$
である。

解答キ:1, ク:4


次は「事象$A$が起こったとき」なので、表Cのグレーの部分は考えない。

表C
大きいさいころ
1 2 3 4 5 6






1 $A$ $B$
2 $A$ $B$
3 $A\cap B$ $C$
4 $B$ $A$ $C$
5 $B$ $A\cap C$
6 $B$ $C$ $A$

表Cで、すべてのマスは6個。
$C$のマスは1個。
すべてのマスは同じ確率で起こるので、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}$
である。

解答ケ:1, コ:6

(3)

表Aで、$A\cap B$のマスは1個。
よって、
$P(A\displaystyle \cap B)=\frac{1}{6^{2}}$式A

(1)より
$P(A)=\displaystyle \frac{1}{6}$ $P(B)=\displaystyle \frac{1}{6}$

なので、
$P(A)P(B)=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}$
$P(A)P(B)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6^{2}}$

となるので、
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
である。

解答サ:1


表Aで、$A\cap C$のマスは1個。
よって、
$P(A\displaystyle \cap C)=\frac{1}{6^{2}}$式B

(1)より
$P(A)=\displaystyle \frac{1}{6}$ $P(C)=\displaystyle \frac{1}{9}$

なので、
$P(A)P(C)=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9}$
$P(A)P(C)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6\cdot 9}$

となるので、
$P(A\cap C) \gt P(A)P(C)$
である。

解答シ:2

(4)

式Aより、
$P(A\displaystyle \cap B)=\frac{1}{6^{2}}$

表D
大きいさいころ
1 2 3 4 5 6






1 $A$ $B$
2 $A$ $B$
3 $A\cap B$ $C$
4 $B$ $A$ $C$
5 $B$ $A\cap C$
6 $B$ $C$ $A$

また、$\overline{A}\cap C$は、表Dの青い部分で、3マスある。
なので、確率$P(\overline{A}\cap C)$は。
$P(\displaystyle \overline{A}\cap C)=\frac{3}{6^{2}}$
$P(\displaystyle \overline{A}\cap C)$$\displaystyle =\frac{1}{2\cdot 6}$式C

よって、1回目に$A\cap B$が起こり、2回目に$\overline{A}\cap C$が起こる確率は、
$P(A\displaystyle \cap B)\cdot P(\overline{A}\cap C)=\frac{1}{6^{2}}\cdot\frac{1}{2\cdot 6}$
$P(A\displaystyle \cap B)\cdot P(\overline{A}\cap C)$$\displaystyle =\frac{1}{432}$
である。

解答ス:1, セ:4, ソ:3, タ:2


2回の試行で三つの事象がちょうど1回ずつ起こるためには、2回の試行のうち1回は二つの事象が同時に起こらないといけない。
つまり、$A\cap B$または$A\cap C$が1回出ないといけない。
よって、
$A\cap B$が1回出るパターンA $A\cap C$が1回出るパターンB の2つのパターンが考えられる。
この2パターンの確率を求めて、たせば答えが出る。

パターンA

$A\cap B$が出る場合、もう1回は$A\cap C$じゃない$C$が出ないといけない。
式Aより、
$P(A\displaystyle \cap B)=\frac{1}{6^{2}}$
「$A\cap C$じゃない$C$」は$\overline{A}\cap C$のことなので、式Cより、
$P(A\cap C$じゃない$C)=\displaystyle \frac{1}{2\cdot 6}$
「$A\cap B$」と「$A\cap C$じゃない$C$」はどっちが先に出てもいいので、出る順の場合の数は
$2!$
以上より、パターンAの確率は
$\displaystyle \frac{1}{6^{2}}\cdot\frac{1}{2\cdot 6}\cdot 2!$
$=\displaystyle \frac{2}{2\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{1}{6^{3}}$式D

パターンB

$A\cap C$が出る場合、もう1回は$A\cap B$じゃない$B$が出ないといけない。
式Bより、
$P(A\displaystyle \cap C)=\frac{1}{6^{2}}$
「$A\cap B$じゃない$B$」は、表Dの緑の部分で、5マスあるから、
$P(A\cap B$じゃない$B)=\displaystyle \frac{5}{6^{2}}$
「$A\cap C$」と「$A\cap B$じゃない$B$」はどっちが先に出てもいいので、出る順の場合の数は
$2!$
以上より、パターンBの確率は
$\displaystyle \frac{1}{6^{2}}\cdot\frac{5}{6^{2}}\cdot 2!$
$=\displaystyle \frac{5}{3\cdot 6^{3}}$式E

パターンA$+$パターンB

求める確率は、式Dと式Eをたして、
$\displaystyle \frac{1}{6^{3}}+\frac{5}{3\cdot 6^{3}}$
途中式 $=\displaystyle \frac{3}{3\cdot 6^{3}}+\frac{5}{3\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{8}{3\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{2^{3}}{3\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{1}{3^{4}}$
$=\displaystyle \frac{1}{81}$
である。

解答チ:1, ツ:8, テ:1