$144$を素因数分解して、
$2\underline{)144}$
 $2\underline{)72}$
 $2\underline{)36}$
 $2\underline{)18}$
  $3\underline{)9}$
     $3$
より、
$144=2^{4}\times 3^{2}$
である。

解答ア：４, イ：３, ウ：２

この４個の$2$，２個の$3$からいくつか選んでかけ合わせると、$144$の約数ができる。
例えば$2$を２個，$3$を１個選んでかけ合わせた
$2^{2}\cdot 3^{1}=12$
は$144$の約数であるし、
$2$を０個，$3$を０個選んでかけ合わせた
$2^{0}\cdot 3^{0}=1$
も$144$の約数である。
なので、約数は数字の選び方の数だけ存在する。

$2$の選び方は、０個，１個，２個，３個，４個の５通り $3$の選び方は、０個，１個，２個の３通り だから、数字の選び方は全部で
$5\times 3=15$通り
ある。よって、約数も
$15$個
ある。

解答エ：１, オ：５

１次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$144x-7y=1$式Ａ
を解く。

$x$と$y$の係数の$144$と$7$でユークリッドの互除法を行うと、
$144\div7=20\ldots4$式Ｂ1
$7\div4=1\ldots3$式Ｂ2
$4\div3=1\ldots1$式Ｂ3

これを「＝余り」の形に変形して、
$144-7\cdot20=4$式Ｂ1'
$7-4\cdot1=3$式Ｂ2'
$4-3\cdot1=1$式Ｂ3'

式Ｂ3'に式Ｂ2'を代入して、
$4-(7-4\cdot 1)\cdot 1=1$
$4-7+4=1$
$-7+4\cdot2=1$
これに式Ｂ1'を代入して、
$-7+(144-7\cdot 20)\cdot 2=1$
$-7+144\cdot 2-7\cdot 40=1$
$144\cdot2-7\cdot41=1$式Ｃ
ができる。

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

となるから、
$144(x-2)=7(y-41)$式Ｄ
とかける。

ここで、$144$と$7$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$\ell$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x-2=7\ell\\y-41=144\ell\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}x=7\ell+2\\y=144\ell+41\end{array}\right.$式Ｅ
でなければならない。

ここでは、解のうち$|x|$が最小のものを問われているので、$x=0$付近を探せばよい。
式Ｅに$x=0$を代入して、
$7\ell+2=0$
$\ell= \displaystyle -\frac{2}{7}$
$\ell$は整数なので、$\displaystyle -\frac{2}{7}$に一番近い整数のとき、$|x|$は最小になる。
よって、$\ell=0$のとき、
式Ｅより、
$\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=41\end{array}\right.$

解答カ：２, キ：４, ク：１

さらに、$\ell$は整数なので、$k$を整数として$\ell=k$とおくと、式Ｅは
$\left\{\begin{array}{l}
x=7k+2\\
y=144k+41
\end{array}\right.$
となるので、すべての整数解は
$x=7k+2$，$y=144k+41$
と表せる。

解答ケ：７, コ：１, サ：４, シ：４

求める自然数は$144$の倍数なので、$m$を自然数として
$144m$
とかける。

これを$7$で割ると$1$余るので、商を整数$n$とすると、
$144m\div 7=n\ldots 1$
より
$144m-7n=1$式Ｆ
とかける。

(2)より、$144x-7y=1$の整数解は、$k$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}
x=7k+2\\
y=144k+41
\end{array}\right.$
なので、式Ｆの$m$も
$m=7k+2$
とかける。
よって、求める自然数は
$144(7k+2)$
と表せる。

さらに、(1)より、$144=2^{4}\times 3^{2}$だから、求める自然数は
$2^{4}\cdot 3^{2}(7k+2)$式Ｇ
と表せる。

あとは、考えるよりも手を動かした方がたぶん早い。センター試験だし。

式Ｇの$2^{4}\cdot 3^{2}(7k+2)$は自然数なので、
$0 \lt 2^{4}\cdot 3^{2}(7k+2)$
より
$0 \lt 7k+2$
$-2 \lt 7k$
$-\displaystyle \frac{2}{7} \lt k$

この$k$は整数だから
$0\leqq k$
である。
ということで、式Ｇの$k$に$0$から順に整数を代入してみよう。

$k=0$のとき、式Ｇは
$2^{4}\cdot 3^{2}(7\cdot 0+2)$
$=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 2$
$=2^{5}\cdot 3^{2}$
この数の正の約数の個数は、(1)の復習より、
$(5+1)(2+1)=6\cdot 3=18$個。
おぉ。いきなり答えにあたってしまった。
正の約数の個数が$18$個である最小のものは
$144\times 2$
である。

解答ス：２

あとはセソだ。

$k=1$のとき、式Ｇは
$2^{4}\cdot 3^{2}(7\cdot 1+2)$
$=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 9$
$=2^{4}\cdot 3^{4}$
この数の正の約数の個数は、
$(4+1)(4+1)=5\cdot 5=25$個
なので、不適。

$k=2$のとき、式Ｇは
$2^{4}\cdot 3^{2}(7\cdot 2+2)$
$=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 16$
$=2^{8}\cdot 3^{2}$
この数の正の約数の個数は、
$(8+1)(2+1)=9\cdot 3=27$個
なので、不適。

$k=3$のとき、式Ｇは
$2^{4}\cdot 3^{2}(7\cdot 3+2)$
$=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 23$
$=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 23^{1}$
この数の正の約数の個数は、
$(4+1)(2+1)(1+1)=5\cdot 3\cdot 2=30$個。
見つけた。
正の約数の個数が$30$個である最小のものは
$144\times 23$
である。

解答セ：２, ソ：３