大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅠA 第2問 [1] 解説

ア~オ

図A(頂点Dの位置は不明)
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図A

図Aの△$\mathrm{ABC}$に余弦定理を使って、
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cos\angle \mathrm{ABC}$
より
$6^{2}=5^{2}+9^{2}-2\cdot 5\cdot 9\cos\angle \mathrm{ABC}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}=\frac{5^{2}+9^{2}-6^{2}}{2\cdot 5\cdot 9}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{70}{2\cdot 5\cdot 9}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{7}{9}$
である。

解答ア:7, イ:9


これを$\sin^{2}\angle \mathrm{ABC}+\cos^{2}\angle \mathrm{ABC}=1$に代入して、
$\sin^{2}\angle \mathrm{ABC}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=1$
$\sin^{2}\angle \mathrm{ABC}=1-\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{9^{2}-7^{2}}{9^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{(9+7)(9-7)}{9^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{16\cdot 2}{9^{2}}$
ここで$0 \lt \sin\angle \mathrm{ABC}$なので、
$\sin\angle \mathrm{ABC}=\sqrt{\frac{16\cdot 2}{9^{2}}}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{4\sqrt{2}}{9}$式A
となる。

解答ウ:4, エ:2, オ:9

カ,キ

次は
$\mathrm{CD}$$\mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}$
だけど、には等号か不等号が入るので、
$\mathrm{CD}$

$\mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}$
の大小関係を考えればいいわけだ。 問題文より、
$\mathrm{CD}=3$
$\displaystyle \mathrm{CD}$$\displaystyle =\frac{27}{9}$
問題文と式Aより、
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}=5\cdot\frac{4\sqrt{2}}{9}$
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}$$= \displaystyle \frac{20\sqrt{2}}{9}$
なので、$\displaystyle \frac{27}{9}$と$\displaystyle \frac{20\sqrt{2}}{9}$の大小関係を考える。
通分しておいたので、分子だけ比較しよう。
$\sqrt{2}\doteqdot 1.414$なので、
$20\sqrt{2}\doteqdot 28.28$
である。
よって、
$27 \lt 20\sqrt{2}$
だから、
$\displaystyle \frac{27}{9} \lt \frac{20\sqrt{2}}{9}$
より
$\mathrm{CD} \lt \mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}$式B
であることが分かる。

解答カ:0


で、式Bが何を示しているのか考えよう。
考えなきゃいけないのは、右辺の$\mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}$の意味だ。

図B(頂点Dの位置は不明)
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図B

図Bのように、頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし、その足を$\mathrm{H}$とすると、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{H}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$
なので、
$\displaystyle \mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}=\mathrm{AB}\cdot\frac{\mathrm{A}\mathrm{H}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$
$\mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}$$=\mathrm{AH}$
であることが分かる。

以上より、式Bは
$\mathrm{CD} \lt \mathrm{AH}$
と書きなおせる。

$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$が平行になるためには、$\mathrm{CD}$は少なくとも$\mathrm{AH}$と同じ長さがないといけない。
なので、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$はムリだから、正解は$\mathrm{AB}\parallel \mathrm{CD}$の4だ。

解答キ:4

これで頂点Dの位置が分かった。
四角形$\mathrm{ABCD}$は図Cのようになる。

図C
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図C

ク~コ

最後は、$\mathrm{BD}$だ。
解き方は何通りか考えられるけど、一番気づきやすいのは余弦定理だろう。

図D
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図D

$\mathrm{AB}\parallel \mathrm{CD}$で、平行線の錯角は等しいので、図Dのピンクの角は等しい。
よって、
$\cos\angle \mathrm{BCD}=\cos(180^{\circ}-\angle \mathrm{ABC})$
$\cos\angle \mathrm{BCD}$$=-\cos\angle \mathrm{ABC}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =-\frac{7}{9}$
である。

これを使って、△$\mathrm{BCD}$に余弦定理を用いると、
$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}-2\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CD}\cos\angle \mathrm{BCD}$
$\mathrm{BD}^{2}$$\displaystyle =9^{2}+3^{2}-2\cdot 9\cdot 3\cdot\left(-\frac{7}{9}\right)$
これを計算する。

$\mathrm{BD}^{2}$$=9^{2}+3^{2}+2\cdot 3\cdot 7$
途中式 $\mathrm{BD}^{2}$$=3(3\cdot 9+3+2\cdot 7)$
$\mathrm{BD}^{2}$$=3\{ 3(9+1)+2\cdot 7\} $
$\mathrm{BD}^{2}$$=3(30+14)$
$\mathrm{BD}^{2}$$=3\cdot 44$
$0 \lt \mathrm{BD}$なので
$\mathrm{BD}=\sqrt{3\cdot 44}$
途中式 $\mathrm{BD}$$=\sqrt{3\cdot 4\cdot 11}$
$\mathrm{BD}$$=\sqrt{2^{2}\cdot 33}$
$\mathrm{BD}$$=2\sqrt{33}$
である。

解答ク:2, ケ:3, コ:3

別解

三平方の定理を使っても解ける。

図E
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図E

分かりやすいように、辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が水平になるように図を回転させた。
図Eのように、頂点$\mathrm{C}$,頂点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$の延長に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{I}$,$\mathrm{J}$とする。

△$\mathrm{IBC}$は直角三角形なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{I}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\sin\angle \mathrm{IBC}$式C
である。
$\sin\angle \mathrm{IBC}=\sin\angle \mathrm{ABC}$
なので、式Cは
$\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{I}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\sin\angle \mathrm{ABC}$
より
$\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{I}}{9}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$
$\mathrm{CI}=4\sqrt{2}$
となる。
$\displaystyle \frac{\mathrm{I}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\cos\angle \mathrm{IBC}$式D
である。
$\cos\angle \mathrm{IBC}=\cos\angle \mathrm{ABC}$
なので、式Dは
$\displaystyle \frac{\mathrm{I}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\cos\angle \mathrm{ABC}$
より
$\displaystyle \frac{\mathrm{I}\mathrm{B}}{9}=\frac{7}{9}$
$\mathrm{IB}=7$
となる。

また、四角形$\mathrm{CDJI}$は長方形なので、
$\mathrm{DJ}=\mathrm{CI}=4\sqrt{2}$
$\mathrm{IJ}=\mathrm{CD}=3$
である。
なので、
$\mathrm{BJ}=\mathrm{IB}+\mathrm{IJ}$
$\mathrm{BJ}$$=7+3$
$\mathrm{BJ}$$=10$
である。

以上より、
△$\mathrm{BDJ}$は
$\mathrm{BJ}=10$
$\mathrm{DJ}=4\sqrt{2}$
の直角三角形なので、三平方の定理を用いて、
$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BJ}^{2}+\mathrm{DJ}^{2}$
$\mathrm{BD}^{2}$$=10^{2}+(4\sqrt{2})^{2}$
$\mathrm{BD}^{2}$$=2^{2}\{5^{2}+(2\sqrt{2})^{2}\}$
$\mathrm{BD}^{2}$$=2^{2}\cdot 33$
$0 \lt \mathrm{BD}$なので
$\mathrm{BD}$$=\sqrt{2^{2}\cdot 33}$
$\mathrm{BD}$$=2\sqrt{33}$
である。

解答ク:2, ケ:3, コ:3