大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

箱の中にはカードが$a$枚あり、そのうち$2a$のカードは$1$枚なので、$2a$のカードが出る確率は
$\displaystyle \frac{1}{a}$
である。

解答ア:1, イ:a


ここで、確率変数の平均値と分散・標準偏差の復習をしておこう。

復習

次の表のような確率分布に従う確率変数$X$があるとき、

$X$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\cdots$ $x_{n}$
$P(X)$ $P(x_{1})$ $P(x_{2})$ $\cdots$ $P(x_{n})$ $1$

$X$の平均$E(X)$は、
$E(X)=x_{1}\cdot P(x_{1})+x_{2}\cdot P(x_{2})+$
                 $\cdots+x_{n}\cdot P(x_{n})$
$X$の分散$V(X)$は、
$V(X)=(x_{1}-E(X))^{2}\cdot P(x_{1})$
            $+(x_{2}-E(X))^{2}\cdot P(x_{2})+$
                 $\cdots+(x_{n}-E(X))^{2}\cdot P(x_{n})$
$X$の標準偏差$\sigma(X)$は、
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
だった。

$a=5$のとき、確率分布表を書くと、表Aができる。

表A
$X$ $2$ $4$ $6$ $8$ $10$
$P(X)$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $1$

表Aより、$X$の平均$E(X)$は
$E(X)=2\displaystyle \cdot\frac{1}{5}+4\cdot\frac{1}{5}+6\cdot\frac{1}{5}+8\cdot\frac{1}{5}+10\cdot\frac{1}{5}$
$E(X)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2+4+6+8+10}{5}$
$E(X)$$=6$
である。

解答ウ:6

また、表Aより、$X$の分散$V(X)$は
$V(X)=(2-6)^{2}\displaystyle \cdot\frac{1}{5}+(4-6)^{2}\cdot\frac{1}{5}+(6-6)^{2}\cdot\frac{1}{5}$
                 $\displaystyle +(8-6)^{2}\cdot\frac{1}{5}+(10-6)^{2}\cdot\frac{1}{5}$
$V(X)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{2}}{5}+\frac{2^{2}}{5}+\cdot\frac{0^{2}}{5}+\frac{2^{2}}{5}+\frac{4^{2}}{5}$
$V(X)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\cdot(4^{2}+2^{2})}{5}$
$V(X)$$=8$
である。

解答エ:8


さらに、確率変数の変換の復習をしよう。

復習

確率変数$X$の
平均値を$E(X)$ 分散を$V(X)$ 標準偏差を$\sigma(X)$ とする。

$X$と定数$a$,$b$を用いて、確率変数$Y$を
$Y=aX+b$
と定める。

このとき、$Y$の
平均$E(Y)=aE(X)+b$ 分散$V(Y)=a^{2}V(X)$ 標準偏差$\sigma(Y)=|a|\sigma(X)$ である。

確率変数$sX+t$の
平均値が
$E(sX+t)=20$
分散が
$V(sX+t)=32$
にしたい。

復習とウ,エより、
$E(sX+t)=sE(X)+t$
$E(sX+t)$$=6s+t$
$V(sX+t)=s^{2}V(X)$
$V(sX+t)$$=8s^{2}$
である。
以上より、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
6s+t=20\\
8s^{2}=32
\end{array}\right.$
ができる。

この連立方程式を解く。
下の式より、
$s^{2}=4$
$s=\pm 2$
$0 \lt s$なので、
$s=2$
これを上の式に代入して、
$6\cdot 2+t=20$
$t=20-12$
$t$$=8$
である。

解答オ:2, カ:8


よって、
$X=2$のとき、
$sX+t=2\cdot 2+8$
$sX+t$$=12$
$X=4$のとき、
$sX+t=2\cdot 4+8$
$sX+t$$=16$
$X=6$のとき、
$sX+t=2\cdot 6+8$
$sX+t$$=20$
$X=8$のとき、
$sX+t=2\cdot 8+8$
$sX+t$$=24$
$X=10$のとき、
$sX+t=2\cdot 10+8$
$sX+t$$=28$
なので、確率変数$sX+t$の確率分布表は表Bになる。

表B
$sX+t$ $12$ $16$ $20$ $24$ $28$
$P(sX+t)$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $1$

$sX+t$が$20$以上になるのは、表Bの赤い部分。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$
                $=0.6$
である。

解答キ:6

(2)

$a$枚のカードから$3$枚取り出して並べるので、すべての場合の数は、
${}_{a}\mathrm{P}_{3}$
通り。
事象$A$の起こる場合の数、つまり$a$枚のカードから$3$枚取り出して並べたときに数字が小さい順に並んでいる場合の数は、
${}_{a}\mathrm{C}_{3}$
通り。
詳しく $a$枚のカードから$3$枚取り出す場合の数は、
${}_{a}\mathrm{C}_{3}$
通り。
$3$枚のカードを数字が小さい順に並べる場合の数は、
$1$
通り。
よって、$a$枚のカードから$3$枚取り出して並べたとき、数字が小さい順に並んでいる場合の数は、
${}_{a}\mathrm{C}_{3}\times 1$
通り。

なので、事象$A$の起こる確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{a}\mathrm{C}_{3}}{{}_{a}\mathrm{P}_{3}}=\frac{\frac{{}_{a}\mathrm{P}_{3}}{3!}}{{}_{a}\mathrm{P}_{3}}$
       $=\displaystyle \frac{\frac{{}_{a}\mathrm{P}_{3}}{3!}\cdot 3!}{{}_{a}\mathrm{P}_{3}\cdot 3!}$
       $=\displaystyle \frac{1}{3!}$
       $=\displaystyle \frac{1}{6}$
である。

解答ク:1, ケ:6


一定の確率で事象$A$が起こる試行を繰り返すので、二項分布を使おう。
二項分布についても復習をしておく。

復習

ある事象が起こる確率が$p$である試行を$n$回繰り返すとき、事象が起こる回数を$X$とすると、事象が$x$回起こる確率$P(X=x)$は二項分布$B(n,p)$に従う。
このとき、確率変数$X$の
平均$E(X)=np$ 分散$V(X)=np(1-p)$ 標準偏差$\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ だった。

$Y$は二項分布$B\left(180,\frac{1}{6}\right)$に従うので、
平均$m=180\displaystyle \cdot\frac{1}{6}$
平均$m$$=30$
分散$\displaystyle \sigma^{2}=180\cdot\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{6}\right)$
分散$\displaystyle \sigma^{2}$$\displaystyle =180\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}$
分散$\sigma^{2}$$=25$
である。

解答コ:3, サ:0, シ:2, ス:5


復習

$n$が大きいとき、二項分布$B(n,p)$に従う確率変数$X$は、近似的に正規分布$N(np,np(1-p))$に従う。

復習より、近似的に、$Y$は正規分布$N(30,25)$に従う。
なので、事象$A$が$18$回以上$36$回以下起こる確率は、図Aの緑の部分の面積になる。

図A
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡB第5問 解説図A

正規分布表を見て図Aの緑の部分の面積を求めるんだけど、
正規分布表に載っているのは$N(0,1)$の標準正規分布 面積を求めたいのは$N(30,25)$の正規分布 だから、そのままでは正規分布表が使えない。
$N(30,25)$を標準化して、$N(0,1)$に変換しよう。

復習

確率変数を、
平均$0$ 標準偏差$1$ に変換することを、標準化という。

もとの確率変数を$Y$とし、
$Y$の平均値を$m$ $Y$の標準偏差を$\sigma$ 変換後の標準化された確率変数を$Z$ とすると、変換式は
$Z=\displaystyle \frac{Y-m}{\sigma}$
である。

ここで、
$Y$の平均$m$は$30$ $Y$の分散は$25$だから、
標準偏差$\sigma=5$
なので、
$18\leqq Y\leqq 36$
の各辺を復習の方法で標準化すると、
$\displaystyle \frac{18-30}{5}\leqq\frac{Y-m}{\sigma}\leqq\frac{36-30}{5}$
$-2.4\displaystyle \leqq\frac{Y-m}{\sigma}\leqq 1.2$
問題文から、$\displaystyle \frac{Y-m}{\sigma}=Z$なので、この式は
$-2.4\leqq Z\leqq 1.2$
とかける。

解答セ:2, ソ:4, タ:0, チ:1, ツ:2, テ:0


以上の標準化で、図Aは図Bのように変換される。

図B
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡB第5問 解説図B

図Bの緑の部分の面積が、$0.$トナだ。

$Z$は、正分布に従う確率変数$Y$を標準化したものなので、標準正規分布に従う。
なので、正規分布表が使える。

$-2.40\leqq Z\leqq 0$
の部分の面積は
$0\leqq Z\leqq 2.40$
の面積と等しいので、正規分布表より
$0.4918$
である。

$0\leqq Z\leqq 1.20$
の部分の面積は、正規分布表より
$0.3849$
である。

よって、緑の部分の面積は、
$0.4918+0.3849=0.8769$
$0.4918+0.3849$$\doteqdot 0.88$
である。

解答ト:8, ナ:8

(3)

標本比率は、
$\displaystyle \frac{320}{400}=\frac{4}{5}$
      $=0.8$
である。

解答ニ:8

ここで、母比率の推定の復習をしておこう。

復習

標本比率を$r$,標本の大きさを$n$とすると、母比率$p$を推定する式は、
$r-z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\leqq p\leqq r+z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}$
ただし、$z$は
信頼度95%のとき、$1.96$
信頼度99%のとき、$2.58$
だった。

今回の問題では、
標本の大きさは$n=400$ 標本比率は$r=0.8$ 信頼度は95%なので、$z=1.96$ なので、復習より、
$0.8-1.96\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}}\leqq p\leqq 0.8+1.96\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}}$
途中式 $0.8-1.96\sqrt{\frac{0.2\times 0.2}{100}}\leqq p\leqq 0.8+1.96\sqrt{\frac{0.2\times 0.2}{100}}$
$0.8-1.96\sqrt{\frac{(0.2)^{2}}{(10)^{2}}}\leqq p\leqq 0.8+1.96\sqrt{\frac{(0.2)^{2}}{(10)^{2}}}$
$0.8-1.96\displaystyle \cdot\frac{0.2}{10}\leqq p\leqq 0.8+1.96\cdot\frac{0.2}{10}$
$0.8-0.0392\leqq p\leqq 0.8+0.0392$
$0.7608\leqq p\leqq 0.8392$
である。
問題文中のマスは小数第2位までなので、上の式を小数第3位で四捨五入して、
$0.76\leqq p\leqq 0.84$
となる。

解答ヌ:7, ネ:6, ノ:8, ハ:4


復習より、信頼区間の幅は
$\left(r+z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\right)-\left(r-z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\right)$
$=2z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}$
であることが分かる。

$L_{1}$は、
標本の大きさ$400$ 標本比率$0.8$ の信頼区間の幅なので、
$L_{1}=2z\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}}$式A
$L_{2}$は、
標本の大きさ$400$ 標本比率$0.6$ の信頼区間の幅なので、
$L_{2}=2z\sqrt{\frac{0.6(1-0.6)}{400}}$式B
$L_{3}$は、
標本の大きさ$500$ 標本比率$0.8$ の信頼区間の幅なので、
$L_{3}=2z\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{500}}$式C
である。
信頼度95%は共通なので、$z$は$1.96$とせずに$z$のままおいておいた。

式A,式B,式Cを見比べると、√の中だけ違う。
なので、この部分だけ計算しよう。

$L_{1}$の√の中は、さっきの計算から
$\displaystyle \frac{0.8(1-0.8)}{400}=\frac{(0.2)^{2}}{100}$
                 $=\displaystyle \frac{0.04}{100}$
$L_{2}$の√の中は、
$\displaystyle \frac{0.6(1-0.6)}{400}=\frac{0.6\times 0.4}{400}$
                 $=\displaystyle \frac{0.6\times 0.1}{100}$
                 $=\displaystyle \frac{0.06}{100}$
$L_{3}$の√の中は、
$\displaystyle \frac{0.8(1-0.8)}{500}=\frac{0.8\times 0.2}{500}$
                 $=\displaystyle \frac{0.16}{500}$
分母分子を$5$で割って、
                 $=\displaystyle \frac{\frac{0.16}{5}}{100}$
                 $=\displaystyle \frac{0.032}{100}$
となる。

この3つの数を比べると、
$\displaystyle \frac{0.032}{100} \lt \frac{0.04}{100} \lt \frac{0.06}{100}$
なので、
$L_{3} \lt L_{1} \lt L_{2}$
である。

解答ヒ:4

アドバイス

以上、母比率の推定は復習の式だけを使って解いた。
センター試験は時間との戦いなので、この方法がお薦めなんだけど、これだと原理が全然分からない。
その辺の解説は、このページを見てほしい。