大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 解説
(1)
第１問目から、センター試験では初めて見るラジアンの定義の問題だ。
知っていると、一瞬で正解は②だと分かるんだけど、知らないとびっくりするかも。
定義を知らなくても、$360^{\circ}$が$ 2\pi$ラジアンなので、これは半径１の円の周の長さだって気づけば、正解の２にはたどり着ける。
それに気づかなかったときは、次のような考え方もある。
問題文にも「弧度」って言葉が出てるけど、ラジアンで角度を表す方法を、弧度法って言った。
ここでは詳しい説明はしないけど、弧度法って言うくらいだから、弧の長さで角度を表す方法だ。
なので、選択肢の⓪と①はない。
で、半径$\pi$の円とか見たことがないと思う。なので、③もないんじゃないかな。
というわけで、定義を知らなくても、消去法で②が正解だと想像はつく。
解答ア：２
(2)
ラジアンと度の変換の復習をしておこう。
復習
$\alpha\pi$ラジアンが$\beta^{\circ}$のとき、
$\alpha\pi=\dfrac{\beta^{\circ}}{180^{\circ}}\pi$
$\beta^{\circ}=\alpha\times 180^{\circ}$ （$\pi$に$180^{\circ}$を代入する）
だった。
復習より、$144^{\circ}$を弧度法で表すと、
$\dfrac{144^{\circ}}{180^{\circ}}\pi=\dfrac{4}{5}\pi$
となる。
解答イ：４, ウ：５
また、$\dfrac{23}{12}\pi$ラジアンを度で表すと、
$\dfrac{23}{12}\times 180^{\circ}=345^{\circ}$
となる。
解答エ：３, オ：４, カ：５
別解
アドバイス
復習の方法を忘れてしまった場合、比率でも解ける。
例えば$\dfrac{\pi}{2}$は$90^{\circ}$だけど、これは全円の$\dfrac{1}{4}$だ。
なので、それぞれを全円の角度で割った、$\dfrac{\cfrac{\pi}{2}}{2\pi}$も$\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}$も計算すると$\dfrac{1}{4}$になる。
式にすると
$\dfrac{90}{360}=\dfrac{\dfrac{\pi}{2}}{2\pi}$
となる。
この考え方で、$\alpha\pi$ラジアンが$\beta^{\circ}$のとき、
$\dfrac{\alpha\pi}{2\pi}=\dfrac{\beta}{360}$
という式が作れる。
これを使ってアジアンと度を変換できる。
アドバイスより、$144^{\circ}$のラジアンを$x$とすると、
$\dfrac{x}{2\pi}=\dfrac{144^{\circ}}{360^{\circ}}$
$$
\begin{align}
x&=\dfrac{144^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\\
&=\dfrac{4}{5}\pi
\end{align}
$$
となる。
解答イ：４, ウ：５
また、$\dfrac{23}{12}\pi$ラジアンを$y^{\circ}$とすると、
$\dfrac{\cfrac{23}{12}\pi}{2\pi}=\dfrac{y^{\circ}}{360^{\circ}}$
$$
\begin{align}
y^{\circ}&=\dfrac{\cfrac{23}{12}\pi\cdot 360^{\circ}}{2\pi}\\
&=\dfrac{23\pi\cdot 30^{\circ}}{2\pi}\\
&=23\cdot 15^{\circ}\\
&=345^{\circ}
\end{align}
$$
となる。
解答エ：３, オ：４, カ：５
(3) キ～コ
式①を
$2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{5}\right)-2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{5}-\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{30}\right)=1$
と変形して
$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$
を代入すると、
$2\sin x-2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{30}\right)=1$
より
$2\sin x-2\cos\left(x-\dfrac{6\pi}{6\cdot 5}+\dfrac{\pi}{30}\right)=1$
$2\sin x-2\cos\left(x-\dfrac{5\pi}{6\cdot 5}\right)=1$
$2\sin x-2\textcolor{red}{\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)}=1$式①'
となる。
解答キ：６
この式の赤い部分に加法定理を使うと、
$$
\begin{align}
\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)&=\cos x\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{6}\\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x
\end{align}
$$
ができる。
これを式①'に代入して、
$2\sin x-2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x\right)=1$
$2\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$
$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$
となる。
解答ク：３
この式で三角関数の合成をすると、
$2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1$
となるので、
$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$式①''
と変形できる。
解答ケ：３, コ：２
(3) サ～セ
これから式①''の方程式を解くのだけれど、その前にもうちょっと式を簡単にしておこう。
$A=x-\dfrac{\pi}{3}$
とおくと、式①''は
$\sin A=\dfrac{1}{2}$式Ａ
となる。
次に、$A$の定義域を求める。
$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$なので、
$$
\begin{align}
A&=\theta+\dfrac{\pi}{5}-\dfrac{\pi}{3}\\
&=\theta+\dfrac{3\pi}{3\cdot 5}-\dfrac{5\pi}{5\cdot 3}\\
&=\theta-\dfrac{2}{15}\pi\class{tex_formula}{式Ｂ}
\end{align}
$$
である。
$\theta$の定義域
$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi$
の各辺から$\dfrac{2}{15}\pi$を引いて、
$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2}{15}\pi\leqq\theta-\dfrac{2}{15}\pi\leqq\pi-\dfrac{2}{15}\pi$
より
$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2}{15}\pi\leqq\theta-\dfrac{2}{15}\pi\leqq\pi-\dfrac{2}{15}\pi$
ここで、$ A=\theta-\dfrac{2}{15}\pi$なので、
$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2}{15}\pi\leqq A\leqq\pi-\dfrac{2}{15}\pi$式Ｃ
となり、$A$の定義域ができた。
アドバイス
この場合、左辺と右辺の$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2}{15}\pi$と$\pi-\dfrac{2}{15}\pi$は計算しない。
面倒だし、時間もかかるから。
$\dfrac{2}{15}\pi=\dfrac{1}{7.5}\pi$
なので、$\dfrac{\pi}{6}$より少し小さい角だと分かっていればそれでいい。
式Ａ，式Ｃからグラフを描くと、図Ａができる。
$\dfrac{2}{15}\pi$は、目分量で$\dfrac{\pi}{6}$より少し小さい角にかいた。
![大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡＢ第１問[1] 解説図Ａ](_image/2B_1_1_01.svg)
図Ａより、式Ａの方程式の解は、
$ A=\dfrac{5}{6}\pi$
である。
でもこれは$A$の値で、$\theta$の値じゃない。
なので、これを$A$と$\theta$の関係式である式Ｂに代入して、
$\dfrac{5}{6}\pi=\theta-\dfrac{2}{15}\pi$
途中式
$$
\begin{align}
\theta&=\dfrac{5}{6}\pi+\dfrac{2}{15}\pi\\
&=\dfrac{5}{2\cdot 3}\pi+\dfrac{2}{3\cdot 5}\pi\\
&=\dfrac{5\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 5}\pi+\dfrac{2\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 5}\pi\\
&=\dfrac{25+4}{2\cdot 3\cdot 5}\pi\\
&=\dfrac{29}{2\cdot 3\cdot 5}\pi
\end{align}
$$
ありゃ。約分できなかった。
仕方がないから分母のかけ算をして、
である。
解答サ：２, シ：９, ス：３, セ：０