大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡB 第1問 [1] 解説

(1)

第1問目から、センター試験では初めて見るラジアンの定義の問題だ。
知っていると、一瞬で正解は②だと分かるんだけど、知らないとびっくりするかも。

定義を知らなくても、$360^{\circ}$が$ 2\pi$ラジアンなので、これは半径1の円の周の長さだって気づけば、正解の2にはたどり着ける。

それに気づかなかったときは、次のような考え方もある。
問題文にも「弧度」って言葉が出てるけど、ラジアンで角度を表す方法を、弧度法って言った。
ここでは詳しい説明はしないけど、弧度法って言うくらいだから、の長さで角を表す方法だ。
なので、選択肢の⓪と①はない。
で、半径$\pi$の円とか見たことがないと思う。なので、③もないんじゃないかな。
というわけで、定義を知らなくても、消去法で②が正解だと想像はつく。

解答ア:2

(2)

ラジアンと度の変換の復習をしておこう。

復習

$\alpha\pi$ラジアンが$\beta^{\circ}$のとき、
$\displaystyle \alpha\pi=\frac{\beta^{\circ}}{180^{\circ}}\pi$ $\beta^{\circ}=\alpha\times 180^{\circ}$ ($\pi$に$180^{\circ}$を代入する) だった。

復習より、$144^{\circ}$を弧度法で表すと、
$\displaystyle \frac{144^{\circ}}{180^{\circ}}\pi$
$=\displaystyle \frac{4}{5}\pi$
となる。

解答イ:4, ウ:5

また、$\displaystyle \frac{23}{12}\pi$ラジアンを度で表すと、
$\displaystyle \frac{23}{12}\times 180^{\circ}$
$=345^{\circ}$
となる。

解答エ:3, オ:4, カ:5

別解

アドバイス

復習の方法を忘れてしまった場合、比率でも解ける。

例えば$\displaystyle \frac{\pi}{2}$は$90^{\circ}$だけど、これは全円の$\displaystyle \frac{1}{4}$だ。
なので、それぞれを全円の角度で割った、$\displaystyle \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi}$も$\displaystyle \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}$も計算すると$\displaystyle \frac{1}{4}$になる。
式にすると
$\displaystyle \frac{90}{360}=\frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi}$
となる。

この考え方で、$\alpha\pi$ラジアンが$\beta^{\circ}$のとき、
$\displaystyle \frac{\alpha\pi}{2\pi}=\frac{\beta}{360}$
という式が作れる。
これを使ってアジアンと度を変換できる。

アドバイスより、$144^{\circ}$のラジアンを$x$とすると、
$\displaystyle \frac{x}{2\pi}=\frac{144^{\circ}}{360^{\circ}}$
$ x=\displaystyle \frac{144^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi$
$ x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4}{5}\pi$
となる。

解答イ:4, ウ:5

また、$\displaystyle \frac{23}{12}\pi$ラジアンを$y^{\circ}$とすると、
$\displaystyle \frac{\frac{23}{12}\pi}{2\pi}=\frac{y^{\circ}}{360^{\circ}}$
$y^{\circ}=\displaystyle \frac{\frac{23}{12}\pi\cdot 360^{\circ}}{2\pi}$
$y\displaystyle $$\displaystyle =\frac{23\pi\cdot 30^{\circ}}{2\pi}$
$y$$=23\cdot 15^{\circ}$
$y$$=345^{\circ}$
となる。

解答エ:3, オ:4, カ:5

(3) キ~コ

式①を
$2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{5}\right)-2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{30}\right)=1$
と変形して
$x=\displaystyle \theta+\frac{\pi}{5}$
を代入すると、
$2\sin x-2\cos\left(x-\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{30}\right)=1$
より
$2\sin x-2\cos\left(x-\frac{6\pi}{6\cdot 5}+\frac{\pi}{30}\right)=1$
$2\sin x-2\cos\left(x-\frac{5\pi}{6\cdot 5}\right)=1$
$2\sin x-2$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$=1$式①'
となる。

解答キ:6


この式の赤い部分に加法定理を使うと、
$\displaystyle \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$
ができる。
これを式①'に代入して、
$2\sin x-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)=1$
$2\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$
$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$
となる。

解答ク:3


この式で三角関数の合成をすると、
$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1$
となるので、
$\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$式①''
と変形できる。

解答ケ:3, コ:2

(3) サ~セ

これから式①''の方程式を解くのだけれど、その前にもうちょっと式を簡単にしておこう。
$A=x-\displaystyle \frac{\pi}{3}$
とおくと、式①''は
$\displaystyle \sin A=\frac{1}{2}$式A
となる。

次に、$A$の定義域を求める。
$x=\displaystyle \theta+\frac{\pi}{5}$なので、
$A=\displaystyle \theta+\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{3}$
$A\displaystyle $$\displaystyle =\theta+\frac{3\pi}{3\cdot 5}-\frac{5\pi}{5\cdot 3}$
$ A\displaystyle $$\displaystyle =\theta-\frac{2}{15}\pi$式B
である。

$\theta$の定義域
$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi$
の各辺から$\displaystyle \frac{2}{15}\pi$を引いて、
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{2}{15}\pi\leqq\theta-\frac{2}{15}\pi\leqq\pi-\frac{2}{15}\pi$
より
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{2}{15}\pi\leqq\theta-\frac{2}{15}\pi\leqq\pi-\frac{2}{15}\pi$
ここで、$ A=\displaystyle \theta-\frac{2}{15}\pi$なので、
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{2}{15}\pi\leqq A\leqq\pi-\frac{2}{15}\pi$式C
となり、$A$の定義域ができた。

アドバイス

この場合、左辺と右辺の$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{2}{15}\pi$と$\displaystyle \pi-\frac{2}{15}\pi$は計算しない。
面倒だし、時間もかかるから。

$\displaystyle \frac{2}{15}\pi=\frac{1}{7.5}\pi$
なので、$\displaystyle \frac{\pi}{6}$より少し小さい角だと分かっていればそれでいい。


式A,式Cからグラフを描くと、図Aができる。
$\displaystyle \frac{2}{15}\pi$は、目分量で$\displaystyle \frac{\pi}{6}$より少し小さい角にかいた。

図A
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡB第1問[1] 解説図A

図Aより、式Aの方程式の解は、
$ A=\displaystyle \frac{5}{6}\pi$
である。
でもこれは$A$の値で、$\theta$の値じゃない。
なので、これを$A$と$\theta$の関係式である式Bに代入して、
$\displaystyle \frac{5}{6}\pi=\theta-\frac{2}{15}\pi$
途中式 $\displaystyle \theta=\frac{5}{6}\pi+\frac{2}{15}\pi$
$\displaystyle \theta$$\displaystyle =\frac{5}{2\cdot 3}\pi+\frac{2}{3\cdot 5}\pi$
$\displaystyle \theta$$\displaystyle =\frac{5\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 5}\pi+\frac{2\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 5}\pi$
$\displaystyle \theta$$\displaystyle =\frac{25+4}{2\cdot 3\cdot 5}\pi$
$\displaystyle \theta$$\displaystyle =\frac{29}{2\cdot 3\cdot 5}\pi$
ありゃ。約分できなかった。
仕方がないから分母のかけ算をして、
$\displaystyle \theta=\frac{29}{30}\pi$
である。

解答サ:2, シ:9, ス:3, セ:0