図Ａで、△$\mathrm{ABC}$は直角三角形なので、
$$ \begin{align} \mathrm{BC}^{2}&=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}\\ &=2^{2}+1^{2}=5 \end{align} $$ $0 \lt \mathrm{BC}$なので、
$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$
である。

また、$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{A}$の二等分線なので、
$$ \begin{align} \mathrm{BD}:\mathrm{CD}&=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}\\ &=2:1 \end{align} $$ となるから、
$\mathrm{BD}=\dfrac{2}{3}\mathrm{BC}$
である。

よって、
$$ \begin{align} \mathrm{BD}&=\dfrac{2}{3}\cdot\sqrt{5}\\ &=\dfrac{2\sqrt{5}}{3} \end{align} $$ となる。

解答ア：２, イ：５, ウ：３

$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}$と、線分と円の交点の長さの積を問われているので、方べきの定理だ。

図Ｂで、円と線分$\mathrm{BA}$，$\mathrm{BD}$に方べきの定理を使うと、
$$ \begin{align} \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}&=\mathrm{BD}^{2}\\ &=\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\right)^{2}\\ &=\dfrac{20}{9}\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ となる。

解答エ：２, オ：０, カ：９

ここで、$\mathrm{AB}=2$なので、式Ａは
$2\mathrm{BE}=\dfrac{20}{9}$
となるから、
$\mathrm{BE}=\dfrac{10}{9}$
である。

解答キ：１, ク：０, ケ：９

以上の値を
$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}$コ$\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$
に代入すると、
$\dfrac{\dfrac{10}{9}}{\dfrac{2\sqrt{5}}{3}}$コ$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
より
$\dfrac{\dfrac{10}{9}\cdot\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\dfrac{3}{2}}$コ$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$\dfrac{\dfrac{5}{3}}{\sqrt{5}}$コ$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
となるので、コには$ \lt $が入り
$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}} \lt \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$式Ｂ
である。

解答コ：０

さて、問題は式Ｂの意味だ。

もし図Ｃのように$\mathrm{ED}$と$\mathrm{AC}$が平行なら、
△$\mathrm{EBD}$∽△$\mathrm{ABC}$
なので、
$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$
となる。

実際には、式Ｂのように
$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}} \lt \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$
なので、図Ｃよりも$\mathrm{BE}$が短かったり$\mathrm{BD}$が長かったりする。
つまり、図Ｄのような形になる。

というわけで、直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{DE}$は、図Ｄの右下で交わる。

解答サ：４

次は、$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}$だ。
線分の長さの比率を問われているので、まず
相似 チェバの定理 メネラウスの定理 の３つを疑おう。
今回はメネラウスの定理だ。

図Ｅの緑の三角形と赤い線にメネラウスの定理を使って、
$\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}\cdot\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}=1$

これにそれぞれの値を代入して、
$\dfrac{2-\cfrac{10}{9}}{\cfrac{10}{9}}\cdot\dfrac{\cfrac{2\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{5}-\cfrac{2\sqrt{5}}{3}}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}=1$

途中式

$\dfrac{2\cdot 9-10}{10}\cdot\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-2\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}=1$
$\dfrac{9-5}{5}\cdot\dfrac{2}{3-2}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}=1$
$\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}=1$
$\dfrac{8}{5}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}=1$

$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}=\dfrac{5}{8}$式Ｃ
となる。

解答シ：５, ス：８

アドバイス

上の解説では、できるだけ単純な考え方をして、値を代入した。
(1)で使った$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=2:1$を憶えていれば、$\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$の部分は、直接
$\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\dfrac{2}{1}$
となるので、計算が楽になる。

$\mathrm{AF}=\mathrm{CF}+1$なので、これを式Ｃに代入して、
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+1}=\dfrac{5}{8}$

途中式

$$ \begin{align} 8\mathrm{CF}&=5(\mathrm{CF}+1)\\ &=5\mathrm{CF}+5 \end{align} $$ $3\mathrm{CF}=5$

$\mathrm{CF}=\dfrac{5}{3}$
である。

解答セ：５, ソ：３

また、問題文から$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AC}}=\dfrac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AB}}$になると言う。
分数の形じゃ分かりにくいので、比になおそう。
つまり
$\mathrm{CF}:\mathrm{AC}=\mathrm{BF}:\mathrm{AB}$
になるらしい。
ということは、$\mathrm{BC}$は$\angle \mathrm{ABF}$の二等分線だ。
よって、△$\mathrm{ABF}$で、
$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{A}$の二等分線 $\mathrm{BC}$は$\angle \mathrm{B}$の二等分線 なので、点$\mathrm{D}$は角の二等分線の交点になる。
以上より、点$\mathrm{D}$は△$\mathrm{ABF}$の内心である。

解答タ：１