(1) キ

表Ａ
	1	2	3	4	5	6	8	9	10
$A$	○	○		○	○				○
$B$			○			○		○
$C$		○		○		○	○		○

	12	14	15	16	18	20
$A$						○
$B$	○		○		○
$C$	○	○		○	○	○

全体集合$U$は$20$以下の自然数の集合なので、要素は$20$個しかない。なので、全部書き出してみよう。

表Ａより、
例えば1は、$A$に含まれて$C$には含まれない。
なので、(a)の$A\subset C$は誤り。
$A$と$B$には共通の要素がない。
なので、(b)の$ A\cap B=\phi$は正しい。
よって、正解は２である。

解答キ：２

(1) ク

表Ｂ
	1	2	3	4	5	6	8	9	10
$A$	○	○		○	○				○
$B$			○			○		○
$C$		○		○		○	○		○

	12	14	15	16	18	20
$A$						○
$B$	○		○		○
$C$	○	○		○	○	○

$A\cup C$は、$A$，$C$どちらかの要素であればよい集合なので、表Ｂの緑の部分。
$(A\cup C)\cap B$は、$A\cup C$と$B$の共通部分なので、表Ｂの緑と$B$の共通部分だから、
$(A\cup C)\cap B=\{6,12,18\}$
である。
よって、(c)は正しい。

$\overline{A}\cap C$は、$C$だけど$A$じゃない自然数なので、表Ｃの緑の部分。
$(\overline{A}\cap C)\cup B$は、緑の部分と$B$のどちらかの要素であればいいので、表Ｃの赤い数字。

表Ｃ
	1	2	3	4	5	6	8	9	10
$A$	○	○		○	○				○
$B$			○			○		○
$C$		○		○		○	○		○

	12	14	15	16	18	20
$A$						○
$B$	○		○		○
$C$	○	○		○	○	○

$B\cup C$は、表Ｄの緑の部分。
$\overline{A}\cap(B\cup C)$は、緑だけど$A$じゃない部分なので、表Ｄの赤い数字。

表Ｄ
	1	2	3	4	5	6	8	9	10
$A$	○	○		○	○				○
$B$			○			○		○
$C$		○		○		○	○		○

	12	14	15	16	18	20
$A$						○
$B$	○		○		○
$C$	○	○		○	○	○

表Ｃと表Ｄの赤い数字は同じ集合なので、(d)も正しい。

(d)の別解

(d)については、ベン図を描いた方が分かりやすいかも知れない。

表Ａより、$B$は$\overline{A}$の部分集合なので、３つの集合$\overline{A}$，$B$，$C$のベン図を描くと図Ｅのようになる。

図の固定

$\overline{A}\cap C$は図Ｆの斜線の部分なので、$(\overline{A}\cap C)\cup B$は図Ｆの赤い部分。
$B\cup C$は図Ｇの斜線の部分なので、$\overline{A}\cap(B\cup C)$は図Ｇの赤い部分。

図Ｆの赤い部分と図Ｇの赤い部分は等しいので、(d)は正しい。

以上より、正解は０である。

解答ク：０

別解

ゼンゼンおすすめじゃないけど、クについては次のような解き方もある。

高校では習わないかも知れないけど、
$X\cup(Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap(X\cup Z)$
$X\cap(Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup(X\cap Z)$
っていう定理がある。

これを使うと、(c)は
$(A\cup C)\cap B=(A\cap B)\cup(C\cap B)$式Ａ
とかける。

上の(b)の$ A\cap B=\phi$は正しかったので、式Ａは
$(A\cup C)\cap B=C\cap B$
となる。

あとは、表Ａより、
$C \cap B=\{6,12,18\}$
であるから、(c)は正しい。

また、(d)の右辺は
$\overline{A}\cap(B\cup C)=(\overline{A}\cap B)\cup(\overline{A}\cap C)$式Ｂ
とかける。

ここで、$ A\cap B=\phi$だったので、
$\overline{A}\cap B=B$
である。

これを式Ｂに代入すると、
$\overline{A}\cap(B\cup C)=B\cup(\overline{A}\cap C)$
$\overline{A}\cap(B\cup C)$$=(\overline{A}\cap C)\cup B$
となり、(d)の左辺ができる。
よって、(d)も正しい。

アドバイス

今回は$(\overline{A}\cap C)\cup B=\overline{A}\cap(B\cup C)$になったけど、これはたまたま$\overline{A}\supset B$だったから。
いつも
$(\overline{A}\cap C)\cup B=\overline{A}\cap(B\cup C)$
つまり
$(X\cap Y)\cup Z=X\cap(Y\cup Z)$
が成り立つわけではない。

以上より、正解は０である。

解答ク：０

(2)

次は、必要条件・十分条件の問題だ。

アドバイス

必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$A\Rightarrow B$ ×
$A\Leftarrow B$ ○
ならば、$A$は$B$であるための必要条件
$A\Rightarrow B$ ○
$A\Leftarrow B$ ×
ならば、$A$は$B$であるための十分条件
って解くけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。

なので、数直線やベン図などで表せるときは、次のように集合の大小で考える方がおすすめ。

$A$が$B$を含んでいるとき、$A$は$B$であるための必要条件

図の固定

$A$が$B$に含まれているとき、$A$は$B$であるための十分条件

図の固定

「大は小の必要条件。」呪文のように憶えておこう。

実数に関する条件が不等式で表されているので、数直線を描きたい。
でも、$p$，$s$は、先にちょっと計算しないといけない。

$x-2=A$とおくと、$p$の式は
$|A| \gt 2$
となるので、$A$は原点からの距離が$2$より大きい数。
よって、
$A \lt -2$，$2 \lt A$
とかける。
$A$をもとにもどして、
$x-2 \lt -2$，$2 \lt x-2$
$x \lt 0$，$4 \lt x$
となるから、
$p$：$x \lt 0$，$4 \lt x$
である。

$s$の式は、両辺とも正の数。なので、両辺を２乗して、
$x^{2} \gt 4^{2}$
$x^{2}-4^{2} \gt 0$
$(x+4)(x-4) \gt 0$
$x \lt -4$，$4 \lt x$
である。
よって、
$s$：$x \lt -4$，$4 \lt x$
となる。

以上より数直線を描くと、図Ｈができる。

図の固定

図Ｈより、（$q$または$r$）と$p$は等しい。
なので、必要十分条件である。

解答ケ：２

図Ｈより、$s$は$r$を含んでいる。
なので、必要条件である。

解答コ：０

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