大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡB 第2問 [1] 解説
(1)
直線$\ell$の傾きは$2$。
解答ア:2
$y=px^{2}+qx+r$を微分して、
$y'=2px+q$
この$x$に$1$を代入すると$2$になるので、
$2p+q=2$
より
$q=-2p+2$式A
である。
解答イ:-, ウ:2, エ:2
また、$C$が$(1,1)$を通るので、
$y=px^{2}+qx+r$に$(1,1)$を代入して、
$p+q+r=1$
これに式Aを代入すると
$p+(-2p+2)+r=1$
$r=p-1$
となる。
解答オ:1
よって、$C$の式は
$$
\begin{align}
y&=px^{2}+qx+r\\
&=px^{2}+(-2p+2)x+(p-1)\\
&=px^{2}-2(p-1)x+(p-1)\class{tex_formula}{式B}
\end{align}
$$
と表せる。
(2)
$S$は図Aの赤い部分の面積だから、式Bと$\ell$の式より、
$S=\displaystyle \int_{1}^{v}\left[\begin{aligned}\{px^{2}-2&(p-1) x+(p-1)\}\\& -(2x-1)\end{aligned}\right]\,dx$
とかける。
これを計算して、
$S\displaystyle =\int_{1}^{v}(\textcolor{red}{px^{2}-2px+p})\,dx$式C
途中式
$$
\begin{align}
S&=p\int_{1}^{v}(x^{2}-2x+1)\,dx\\
&=p\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x\right]_{1}^{v}\\
&=p\left\{\left(\frac{v^{3}}{3}-v^{2}+v\right)-\left(\frac{1}{3}-1+1\right)\right\}\\
&=p\left(\frac{v^{3}}{3}-v^{2}+v-\frac{1}{3}\right)
\end{align}
$$
である。
解答カ:3, キ:3, ク:3, ケ:1
また、$T$は図Aのオレンジの部分の面積。
台形の面積なので、
$$
\begin{align}
T&=\frac{1}{2}\times(\text{上底}+\text{下底})\times\text{高さ}\\
&=\frac{1}{2}\{1+(2v-1)\}\cdot(v-1)\\
&=v\cdot(v-1)\\
&=v^{2}-v\class{tex_formula}{式E}
\end{align}
$$
である。
解答コ:2
$U=S-T$なので、式D,式Eより、
$U=\displaystyle \frac{p}{3}(v^{3}-3v^{2}+3v-1)-(v^{2}-v)$式F
である。
これが$v=2$で極値をとるので、式Fを微分した、
$$
\begin{align}
U'&=\frac{p}{3}(3v^{2}-6v+3)-(2v-1)\\
&=\textcolor{red}{p(v^{2}-2v+1)}-(2v-1)\class{tex_formula}{式G}
\end{align}
$$
に$v=2$を代入すると、$U'=0$になる。
よって、
$p(2^{2}-2\cdot 2+1)-(2\cdot 2-1)=0$
$p-3=0$
$p=3$
である。
解答サ:3
アドバイス
微分をしないでも、式Gの赤い部分は、式Cの赤い部分の$x$を$v$にかえたものになるのは明らか。
でも、そんなことを考えるより、ここは手を動かした方が早い。
このとき、$U$の式は、式Fに$p=3$を代入して、
$$
\begin{align}
U&=\frac{3}{3}(v^{3}-3v^{2}+3v-1)-(v^{2}-v)\\
&=v^{3}-3v^{2}+3v-1-v^{2}+v\\
&=v^{3}-4v^{2}+4v-1
\end{align}
$$
となる。
よって、$U=0$となる$v$は、方程式
$v^{3}-4v^{2}+4v-1=0$式H
を解けばよい。
この方程式は$v=1$のときに成り立つので、$v-1$で割り切れる。
組み立て除法をして、
$1$ | $-4$ | $4$ | $-1$ | $1$ |
$1$ | $-3$ | $1$ | ||
$1$ | $-3$ | $1$ | $0$ |
より、式Hは
$(\textcolor{royalblue}{v-1})(\textcolor{red}{v^{2}-3v+1})=0$
と因数分解できる。
今は$1 \lt v$の範囲の解を問われているので、青い部分は不適。
赤い部分だけ考えよう。
解の公式より、
$$
\begin{align}
v&=\frac{3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\\
&=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align}
$$
となるけど、$1 \lt v$なので、
$v_{0}=\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}$
である。
解答シ:3, ス:5, セ:2
以上より、
$v=1$,$\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$のとき、$U=0$
であることが分かった。
$1$,$\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$の大小関係は
$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \lt 1 \lt \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$
である。
また、$U$の式は
$U=v^{3}-4v^{2}+4v-1$
で、$v^{3}$の項の係数は正だから、グラフは全体として右上がりである。
さらに、問題文より、$U$は$v=2$で極値をとる。
以上より、$U$のグラフの概形は図Bのようになる。
(このグラフの描き方は、詳しくはこのページ参照。)
図Bより、$1 \lt v \lt \displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}$の範囲で$U$のグラフは負である。
解答ソ:3
また、図Bより、$1 \lt v$における$U$の最小値は
$v=2$
のときである。
このときの最小値は、$U$の式に$v=2$を代入して
$2^{3}-4\cdot 2^{2}+4\cdot 2-1=-1$
である。
解答タ:-, チ:1
アドバイス
ソについては、増減表を書く,$v=1$のときの$U$のグラフの傾きを調べる、など、さまざまな解法が考えられる。けれど、上の解説の方法が一番早く解けると思う。
また、タチについても、真面目に増減表を書くのは時間がかかる。
このサイトのあちこちに書いていることだけど、グラフで考える習慣を身につけよう。