直線$\ell$の傾きは$2$。

解答ア：２

$y=px^{2}+qx+r$を微分して、
$y'=2px+q$
この$x$に$1$を代入すると$2$になるので、
$2p+q=2$
より
$q=-2p+2$式Ａ
である。

解答イ：－, ウ：２, エ：２

また、$C$が$(1,1)$を通るので、
$y=px^{2}+qx+r$に$(1,1)$を代入して、
$p+q+r=1$
これに式Ａを代入すると
$p+(-2p+2)+r=1$
$r=p-1$
となる。

解答オ：１

よって、$C$の式は
$$ \begin{align} y&=px^{2}+qx+r\\ &=px^{2}+(-2p+2)x+(p-1)\\ &=px^{2}-2(p-1)x+(p-1)\class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$ と表せる。

$S$は図Ａの赤い部分の面積だから、式Ｂと$\ell$の式より、
$S=\displaystyle \int_{1}^{v}\left[\begin{aligned}\{px^{2}-2&(p-1) x+(p-1)\}\\& -(2x-1)\end{aligned}\right]\,dx$
とかける。

これを計算して、
$S\displaystyle =\int_{1}^{v}(\textcolor{red}{px^{2}-2px+p})\,dx$式Ｃ

途中式

$$ \begin{align} S&=p\int_{1}^{v}(x^{2}-2x+1)\,dx\\ &=p\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x\right]_{1}^{v}\\ &=p\left\{\left(\frac{v^{3}}{3}-v^{2}+v\right)-\left(\frac{1}{3}-1+1\right)\right\}\\ &=p\left(\frac{v^{3}}{3}-v^{2}+v-\frac{1}{3}\right) \end{align} $$

$\phantom{S}=\dfrac{p}{3}(v^{3}-3v^{2}+3v-1)$式Ｄ
である。

解答カ：３, キ：３, ク：３, ケ：１

また、$T$は図Ａのオレンジの部分の面積。
台形の面積なので、
$$ \begin{align} T&=\frac{1}{2}\times(\text{上底}+\text{下底})\times\text{高さ}\\ &=\frac{1}{2}\{1+(2v-1)\}\cdot(v-1)\\ &=v\cdot(v-1)\\ &=v^{2}-v\class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$ である。

解答コ：２

$U=S-T$なので、式Ｄ，式Ｅより、
$U=\displaystyle \frac{p}{3}(v^{3}-3v^{2}+3v-1)-(v^{2}-v)$式Ｆ
である。

これが$v=2$で極値をとるので、式Ｆを微分した、
$$ \begin{align} U'&=\frac{p}{3}(3v^{2}-6v+3)-(2v-1)\\ &=\textcolor{red}{p(v^{2}-2v+1)}-(2v-1)\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ に$v=2$を代入すると、$U'=0$になる。

よって、
$p(2^{2}-2\cdot 2+1)-(2\cdot 2-1)=0$
$p-3=0$
$p=3$
である。

解答サ：３

アドバイス

微分をしないでも、式Ｇの赤い部分は、式Ｃの赤い部分の$x$を$v$にかえたものになるのは明らか。
でも、そんなことを考えるより、ここは手を動かした方が早い。

このとき、$U$の式は、式Ｆに$p=3$を代入して、
$$ \begin{align} U&=\frac{3}{3}(v^{3}-3v^{2}+3v-1)-(v^{2}-v)\\ &=v^{3}-3v^{2}+3v-1-v^{2}+v\\ &=v^{3}-4v^{2}+4v-1 \end{align} $$ となる。

よって、$U=0$となる$v$は、方程式
$v^{3}-4v^{2}+4v-1=0$式Ｈ
を解けばよい。

この方程式は$v=1$のときに成り立つので、$v-1$で割り切れる。
組み立て除法をして、

$1$	$-4$	$4$	$-1$	$1$
	$1$	$-3$	$1$
$1$	$-3$	$1$	$0$

より、式Ｈは
$(\textcolor{royalblue}{v-1})(\textcolor{red}{v^{2}-3v+1})=0$
と因数分解できる。

今は$1 \lt v$の範囲の解を問われているので、青い部分は不適。
赤い部分だけ考えよう。

解の公式より、
$$ \begin{align} v&=\frac{3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \end{align} $$ となるけど、$1 \lt v$なので、
$v_{0}=\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}$
である。

解答シ：３, ス：５, セ：２

以上より、
$v=1$，$\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$のとき、$U=0$
であることが分かった。
$1$，$\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$の大小関係は
$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \lt 1 \lt \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$
である。

また、$U$の式は
$U=v^{3}-4v^{2}+4v-1$
で、$v^{3}$の項の係数は正だから、グラフは全体として右上がりである。

さらに、問題文より、$U$は$v=2$で極値をとる。

以上より、$U$のグラフの概形は図Ｂのようになる。
（このグラフの描き方は、詳しくはこのページ参照。）

図Ｂより、$1 \lt v \lt \displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}$の範囲で$U$のグラフは負である。

解答ソ：３

また、図Ｂより、$1 \lt v$における$U$の最小値は
$v=2$
のときである。

このときの最小値は、$U$の式に$v=2$を代入して
$2^{3}-4\cdot 2^{2}+4\cdot 2-1=-1$
である。

解答タ：－, チ：１

アドバイス

ソについては、増減表を書く，$v=1$のときの$U$のグラフの傾きを調べる、など、さまざまな解法が考えられる。けれど、上の解説の方法が一番早く解けると思う。
また、タチについても、真面目に増減表を書くのは時間がかかる。
このサイトのあちこちに書いていることだけど、グラフで考える習慣を身につけよう。