大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡB 第4問 解説

(1)

図A
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡB第4問 解説図A

図Aより、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{F}\mathrm{B}}-\vec{\mathrm{F}\mathrm{A}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$$=\vec{q}-\vec{p}$
とかける。

解答ア:2

よって、
$\left|\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|^{2}=\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$
$\left|\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|^{2}$$=(\vec{q}-\vec{p})\cdot(\vec{q}-\vec{p})$
$\left|\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|^{2}$$=\vec{p}\cdot\vec{p}-2\vec{p}\cdot\vec{q}+\vec{q}\cdot\vec{q}$
$\left|\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|^{2}$$=\left|\vec{p}\right|^{2}-2\vec{p}\cdot\vec{q}+\left|\vec{q}\right|^{2}$
となる。

解答イ:2

(2)

点$\mathrm{D}$は、線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{F}\mathrm{D}}=\frac{3\vec{\mathrm{F}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{F}\mathrm{B}}}{1+3}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{F}\mathrm{D}}$$\displaystyle =\frac{3\vec{p}+\vec{q}}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{F}\mathrm{D}}$$\displaystyle =\frac{3}{4}\vec{p}+\frac{1}{4}\vec{q}$
である。

解答ウ:3, エ:4, オ:1, カ:4

(3)

図B
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅡB第4問 解説図B

式②に$\vec{\mathrm{F}\mathrm{D}}=s\vec{r}$を代入すると、
$s\displaystyle \vec{r}=\frac{3}{4}\vec{p}+\frac{1}{4}\vec{q}$
$4s\vec{r}=3\vec{p}+\vec{q}$
$\vec{q}=-3\vec{p}+4s\vec{r}$
となる。

解答キ:-, ク:3, ケ:4

また、点$\mathrm{E}$は、線分$\mathrm{BC}$を$a:1-a$に内分する点なので、
$\vec{\mathrm{F}\mathrm{E}}=(1-a)\vec{\mathrm{F}\mathrm{B}}+a\vec{\mathrm{F}\mathrm{C}}$
となるから、
$t\vec{p}=(1-a)\vec{q}+a\vec{r}$
$(1-a)\vec{q}=t\vec{p}-a\vec{r}$
$\displaystyle \vec{q}=\frac{t}{1-a}\vec{p}-\frac{a}{1-a}\vec{r}$
である。

解答コ:1, サ:a, シ:a

式③と式④は等しいので、
$\left\{\begin{array}{l}
-\frac{a}{1-a}=4s\\
\frac{t}{1-a}=-3
\end{array}\right.$
とかける。
これを計算して、
$\left\{\begin{array}{l}
s=\frac{-a}{4(1-a)}\\
t=-3(1-a)
\end{array}\right.$
となる。

解答ス:-, セ:a, ソ:4, タ:-, チ:3

(4)

式①に$\left|\vec{p}\right|=1$を代入して、
$\left|\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|^{2}=1-2\vec{p}\cdot\vec{q}+\left|\vec{q}\right|^{2}$①'
である。


アドバイス

次は$\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}$だけど、$\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}$は
$\vec{\mathrm{F}\mathrm{E}}-\vec{\mathrm{F}\mathrm{B}}$を使って、
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}=t\vec{p}-\vec{q}$式A
$a\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$を使って、
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}=a(\vec{r}-\vec{q})$
と、2通りの表し方が考えられる。
けれど、の式を見ると、右辺に$\vec{r}$がないので、式Aの方を使おう。

$\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}=\vec{\mathrm{F}\mathrm{E}}-\vec{\mathrm{F}\mathrm{B}}$
なので、
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}=t\vec{p}-\vec{q}$
(3)より、$t=-3(1-a)$なので、
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}=-3(1-a)\vec{p}-\vec{q}$
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}\right|^{2}=\left|-3(1-a)\vec{p}-\vec{q}\right|^{2}$
途中式 $\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}\right|^{2}$$=\{-3(1-a)\vec{p}-\vec{q}\}\cdot\{-3(1-a)\vec{p}-\vec{q}\}$
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}\right|^{2}$$=\{-3(1-a)\vec{p}\}\cdot\{-3(1-a)\vec{p}\}$
                     $+2\{3(1-a)\vec{p}\}\cdot\vec{q}+\vec{q}\cdot\vec{q}$
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}\right|^{2}$$=9(1-a)^{2}\left|\vec{p}\right|^{2}+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+\left|\vec{q}\right|^{2}$
だけど、$\left|\vec{p}\right|=1$なので、
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}\right|^{2}=9(1-a)^{2}+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+\left|\vec{q}\right|^{2}$式B
となる。

解答ツ:9, テ:6


$\left|\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|=\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}\right|$なので、$\left|\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|^{2}=\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{E}}\right|^{2}$である。
よって、式①'$=$式Bより、
$1-2\vec{p}\cdot\vec{q}+\left|\vec{q}\right|^{2}=9(1-a)^{2}+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+\left|\vec{q}\right|^{2}$
途中式 $1-2\vec{p}\cdot\vec{q}=9(1-a)^{2}+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}$
$6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+2\vec{p}\cdot\vec{q}=1-9(1-a)^{2}$
$2(3-3a+1)\vec{p}\cdot\vec{q}=1-9+18a-9a^{2}$
$2(4-3a)\vec{p}\cdot\vec{q}=-8+18a-9a^{2}$
$2(4-3a)\vec{p}\cdot\vec{q}=-(4-3a)(2-3a)$
$0 \lt a \lt 1$より$4-3a\neq 0$なので、両辺を$4-3a$で割っても大丈夫。
$2\vec{p}\cdot\vec{q}=-(2-3a)$
$\displaystyle \vec{p}\cdot\vec{q}=\frac{3a-2}{2}$
である。

解答ト:3, ナ:a, ニ:2, ヌ:2