大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅡB 第3問 解説

(1)

$\{a_{n}\}$は等差数列なので、一般項を
$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
とおくと、
第4項が$30$なので、
$a_{1}+(4-1)d=30$
より
$a_{1}+3d=30$式A
初項から第8項までの和が$288$なので、等差数列の和の公式より
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot(a_{1}+a_{8})=288$
$a_{1}+a_{8}=\displaystyle \frac{288}{4}$
$a_{1}+\{a_{1}+(8-1)d\}=72$
$2a_{1}+7d=72$式B
となる。

式A,式Bの連立方程式を解く。
式Aの両辺を2倍して、
$2a_{1}+6d=60$
これを式Bから辺々引いて、

$2a_{1}$ $+7d$ $=$ $72$
$-)$ $2a_{1}$ $+6d$ $=$ $60$
$d$ $=$ $12$

である。

これを式Aに代入して、
$a_{1}+3\cdot 12=30$
$a_{1}=30-36$
$a_{1}$$=-6$
である。

解答ア:-, イ:6, ウ:1, エ:2

よって、
$a_{n}=-6+12(n-1)$
より
$a_{n}=12n-18$式C
となる。


式Cを等差数列の和の公式に代入して、
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n})$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}n\{-6+(12n-18)\}$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}n(12n-24)$
$S_{n}$$=6n^{2}-12n$式D
である。

解答オ:6, カ:1, キ:2

(2)

$\{b_{n}\}$は等比数列なので、一般項を
$b_{n}=b_{1}\cdot r^{n-1}$
とおくと、
第2項が$36$なので、
$b_{1}\cdot r^{2-1}=36$
$b_{1}\cdot r=36$式E
初項から第3項までの和が$156$なので、等比数列の和の公式より
$\displaystyle \frac{b_{1}(1-r^{3})}{1-r}=156$式F
となる。

式E,式Fの連立方程式を解く。
式Fを式Eで辺々割って、
$\displaystyle \frac{b_{1}(1-r^{3})}{b_{1}\cdot r(1-r)}=\frac{156}{36}$
$\displaystyle \frac{b_{1}(1-r)(1+r+r^{2})}{b_{1}\cdot r(1-r)}=\frac{156}{36}$
両辺を約分して、
$\displaystyle \frac{1+r+r^{2}}{r}=\frac{13}{3}$
両辺に$3r$をかけて、
$3(1+r+r^{2})=13r$
$3r^{2}-10r+3=0$
$(3r-1)(r-3)=0$
$r=\displaystyle \frac{1}{3}$,$3$
ここで、$1 \lt r$なので、
$r=3$
である。

これを式Eに代入して、
$3b_{1}=36$
$b_{1}=12$
である。

解答ク:1, ケ:2, コ:3

よって、
$b_{n}=12\cdot 3^{n-1}$
$b_{n}$$=4\cdot 3\cdot 3^{n-1}$
$b_{n}$$=4\cdot 3^{n}$式G
となる。


また、等比数列の和の公式より、
$T_{n}=\displaystyle \frac{12(1-3^{n})}{1-3}$
$T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{12(1-3^{n})}{-2}$
$T_{n}$$=-6(1-3^{n})$
$T_{n}$$=6(3^{n}-1)$式H
である。

解答サ:6, シ:3, ス:1

(3)

式を短くするために、
$a_{n}-b_{n}=X_{n}$
とおく。

$c_{1}=X_{1}$
$c_{2}=2X_{1}+X_{2}$
$c_{3}=3X_{1}+2X_{2}+X_{3}$
       $\vdots$
$c_{n}=nX_{1}+(n-1)X_{2}+(n-2)X_{3}+$
                 $\cdots+X_{n}$式I
だから、
$c_{n+1}=(n+1)X_{1}+nX_{2}+(n-1)X_{3}+$
                 $\cdots+2X_{n}+X_{n+1}$式J
である。

式Jから式Iを辺々引くと、

$c_{n+1}$ $=$ $(n+1)X_{1}$ $+nX_{2}$ $+\cdots$ $+2X_{n}$ $+X_{n+1}$
$-)$ $c_{n}$ $=$ $nX_{1}$ $+(n-1)X_{2}$ $+\cdots$ $+X_{n}$
$c_{n+1}-c_{n}$ $=$ $X_{1}$ $+X_{2}$ $+\cdots$ $+X_{n}$ $+X_{n+1}$

となる。

ここで、
$d_{n}=c_{n+1}-c_{n}$ $X_{n}=a_{n}-b_{n}$ なので、この式は
$d_{n}=(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})+(a_{3}-b_{3})+$
                 $\cdots+(a_{n}-b_{n})+(a_{n+1}-b_{n+1})$
とかける。

これを変形すると、
$d_{n}=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+a_{n+1})$
            $-(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n}+b_{n+1})$
となるけど、
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=S_{n}$ $b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=T_{n}$ なので、
$d_{n}=S_{n+1}-T_{n+1}$式K
である。

解答セ:5


式Kに式D,式Hを代入して、
$d_{n}=6(n+1)^{2}-12(n+1)-6(3^{n+1}-1)$
途中式 $d_{n}$$=6(n+1)\{ (n+1)-2\} -6\cdot 3^{n+1}+6$
$d_{n}$$=6(n+1)(n-1)-2\cdot 3\cdot 3^{n+1}+6$
$d_{n}$$=6n^{2}-6-2\cdot 3^{n+2}+6$
$d_{n}$$=6n^{2}-2\cdot 3^{n+2}$
となる。

解答ソ:6, タ:3, チ:2

また、
$c_{1}=a_{1}-b_{1}$ $a_{1}=-6$ $b_{1}=12$ なので、
$c_{1}=-6-12$
$c_{1}$$=-18$
である。

解答ツ:-, テ:1, ト:8


復習

階差数列からもとの数列の一般項を求める式は、
もとの数列を$\{a_{n}\}$
階差数列を$\{b_{n}\}$
とすると、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$     $(2\leqq n)$
だった。

なので、$2\leqq n$のとき
$c_{n}=c_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}d_{k}$
$c_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-18+\sum_{k=1}^{n-1}(6k^{2}-2\cdot 3^{n+2})$
となる。
あとはこれを計算して、
途中式 $c_{n}=-18+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(6k^{2}-2\cdot 3^{2}\cdot 3^{n})$
$c_{n}$$\displaystyle =-18+6\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}-2\cdot 3^{2}\sum_{k=1}^{n-1}3^{n}$
$c_{n}$$\displaystyle =-18+6\cdot\frac{1}{6}(n-1)n\{2(n-1)+1\}$
                 $\displaystyle -2\cdot 3^{2}\cdot\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}$
$c_{n}$$=-18+(n-1)n(2n-1)+3^{3}(1-3^{n-1})$
$c_{n}$$=-18+2n^{3}-3n^{2}+n+3^{3}-3^{n+2}$
$c_{n}$$=2n^{3}-3n^{2}+n+9-3^{n+2}$
である。

これは$n=1$のときも成り立つ。

解答ナ:2, ニ:3, ヌ:9, .ネ:2