$\{a_{n}\}$は等差数列なので、一般項を
$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
とおくと、
第４項が$30$なので、
$a_{1}+(4-1)d=30$
より
$a_{1}+3d=30$式Ａ
初項から第８項までの和が$288$なので、等差数列の和の公式より
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot(a_{1}+a_{8})=288$
$a_{1}+a_{8}=\displaystyle \frac{288}{4}$
$a_{1}+\{a_{1}+(8-1)d\}=72$
$2a_{1}+7d=72$式Ｂ
となる。

式Ａ，式Ｂの連立方程式を解く。
式Ａの両辺を２倍して、
$2a_{1}+6d=60$
これを式Ｂから辺々引いて、

	$2a_{1}$	$+7d$	$=$	$72$
$-)$	$2a_{1}$	$+6d$	$=$	$60$
		$d$	$=$	$12$

である。

これを式Ａに代入して、
$a_{1}+3\cdot 12=30$
$a_{1}=30-36$
$a_{1}$$=-6$
である。

解答ア：－, イ：６, ウ：１, エ：２

よって、
$a_{n}=-6+12(n-1)$
より
$a_{n}=12n-18$式Ｃ
となる。

式Ｃを等差数列の和の公式に代入して、
$$ \begin{align} S_{n}&=\frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n})\\ &=\frac{1}{2}n\{-6+(12n-18)\}\\ &=\frac{1}{2}n(12n-24)\\ &=6n^{2}-12n\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$ である。

解答オ：６, カ：１, キ：２

$\{b_{n}\}$は等比数列なので、一般項を
$b_{n}=b_{1}\cdot r^{n-1}$
とおくと、
第２項が$36$なので、
$b_{1}\cdot r^{2-1}=36$
$b_{1}\cdot r=36$式Ｅ
初項から第３項までの和が$156$なので、等比数列の和の公式より
$\displaystyle \frac{b_{1}(1-r^{3})}{1-r}=156$式Ｆ
となる。

式Ｅ，式Ｆの連立方程式を解く。
式Ｆを式Ｅで辺々割って、
$\displaystyle \frac{b_{1}(1-r^{3})}{b_{1}\cdot r(1-r)}=\frac{156}{36}$
$\displaystyle \frac{b_{1}(1-r)(1+r+r^{2})}{b_{1}\cdot r(1-r)}=\frac{156}{36}$
両辺を約分して、
$\displaystyle \frac{1+r+r^{2}}{r}=\frac{13}{3}$
両辺に$3r$をかけて、
$3(1+r+r^{2})=13r$
$3r^{2}-10r+3=0$
$(3r-1)(r-3)=0$
$r=\displaystyle \frac{1}{3}$，$3$
ここで、$1 \lt r$なので、
$r=3$
である。

これを式Ｅに代入して、
$3b_{1}=36$
$b_{1}=12$
である。

解答ク：１, ケ：２, コ：３

よって、
$$ \begin{align} b_{n}&=12\cdot 3^{n-1}\\ &=4\cdot 3\cdot 3^{n-1}\\ &=4\cdot 3^{n}\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ となる。

また、等比数列の和の公式より、
$$ \begin{align} T_{n}&=\frac{12(1-3^{n})}{1-3}\\ &=\frac{12(1-3^{n})}{-2}\\ &=-6(1-3^{n})\\ &=6(3^{n}-1)\class{tex_formula}{式Ｈ} \end{align} $$ である。

解答サ：６, シ：３, ス：１

式を短くするために、
$a_{n}-b_{n}=X_{n}$
とおく。

$c_{1}=X_{1}$
$c_{2}=2X_{1}+X_{2}$
$c_{3}=3X_{1}+2X_{2}+X_{3}$
$\qquad\vdots$
$\begin{aligned}c_{n}=nX_{1}+&(n-1)X_{2}+(n-2)X_{3}\\&+\cdots+X_{n}\class{tex_formula}{式Ｉ}\end{aligned}$
だから、
$\begin{aligned}c_{n+1}=(n+& 1)X_{1}+nX_{2}+(n-1)X_{3}\\& +\cdots+2X_{n}+X_{n+1}\class{tex_formula}{式Ｊ}\end{aligned}$
である。

ここで、
$d_{n}=c_{n+1}-c_{n}$ $X_{n}=a_{n}-b_{n}$ なので、この式は
$\begin{aligned}d_{n}=&(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})+(a_{3}-b_{3})\\&\qquad+\cdots+(a_{n}-b_{n})+(a_{n+1}-b_{n+1})\end{aligned}$
とかける。

これを変形すると、
$\begin{aligned}d_{n}=&(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+a_{n+1})\\&\qquad-(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n}+b_{n+1})\end{aligned}$
となるけど、
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=S_{n}$ $b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=T_{n}$ なので、
$d_{n}=S_{n+1}-T_{n+1}$式Ｋ
である。

解答セ：５

式Ｋに式Ｄ，式Ｈを代入して、
$d_{n}=6(n+1)^{2}-12(n+1)-6(3^{n+1}-1)$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{d_{n}}&=6(n+1)\{ (n+1)-2\} -6\cdot 3^{n+1}+6\\ &=6(n+1)(n-1)-2\cdot 3\cdot 3^{n+1}+6\\ &=6n^{2}-6-2\cdot 3^{n+2}+6 \end{align} $$

$\phantom{d_{n}}=6n^{2}-2\cdot 3^{n+2}$
となる。

解答ソ：６, タ：３, チ：２

また、
$c_{1}=a_{1}-b_{1}$ $a_{1}=-6$ $b_{1}=12$ なので、
$$ \begin{align} c_{1}&=-6-12\\ &=-18 \end{align} $$ である。

解答ツ：－, テ：１, ト：８

復習

階差数列からもとの数列の一般項を求める式は、
もとの数列を$\{a_{n}\}$
階差数列を$\{b_{n}\}$
とすると、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k}\qquad(2\leqq n)$
だった。

なので、$2\leqq n$のとき
$$ \begin{align} c_{n}&=c_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}d_{k}\\ &=-18+\sum_{k=1}^{n-1}(6k^{2}-2\cdot 3^{k+2}) \end{align} $$ となる。
あとはこれを計算して、

途中式

$$ \begin{align} c_{n}&=-18+\sum_{k=1}^{n-1}(6k^{2}-2\cdot 3^{2}\cdot 3^{k})\\ &=-18+6\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}-2\cdot 3^{2}\sum_{k=1}^{n-1}3^{k}\\ &=-18+6\cdot\frac{1}{6}(n-1)n\{2(n-1)+1\}\\ &\hspace{150px}-2\cdot 3^{2}\cdot\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}\\ &=-18+(n-1)n(2n-1)\\ &\hspace{150px}+3^{3}(1-3^{n-1})\\ &=-18+2n^{3}-3n^{2}+n+3^{3}-3^{n+2} \end{align} $$

$\phantom{c_{n}}=2n^{3}-3n^{2}+n+9-3^{n+2}$
である。

これは$n=1$のときも成り立つ。

解答ナ：２, ニ：３, ヌ：９, .ネ：２