大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅠA 第1問 [3] 解説

サ,シ

$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は、$f(x)$の式を平方完成してもいいんだけど、時間を節約するために次の方法を使おう。

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$
だった。

復習の方法を使って、
$p=\displaystyle \frac{2(a+3)}{2a}$
$p\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a+3}{a}$
$p\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a}{a}+\frac{3}{a}$
$p\displaystyle $$\displaystyle =1+\frac{3}{a}$
である。

解答サ:1, シ:3

ス,セ

次は、$0\leqq x\leqq 4$における最小値の問題。頂点の$x$座標は$1+\displaystyle \frac{3}{a}$なので、頂点が動くタイプの2次関数の最小値の問題だ。
なので、まず場合分けから。
下に凸のグラフの最小値を問われているので、いつものように図A,図B,図Cの3通りに場合分けしよう。

図A
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第1問[3] 解説図A
図B
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第1問[3] 解説図B
図C
大学入試センター試験2018年本試 数学ⅠA第1問[3] 解説図C

最小値が$f(4)$になるのは図Cのときで、頂点の$x$座標が$4$以上のとき。
つまり、
$4\displaystyle \leqq 1+\frac{3}{a}$
のとき。

これを計算して、
$3\displaystyle \leqq\frac{3}{a}$

$a$は正なので、両辺に$a$をかけても不等号の向きは変わらないから、
$3a\leqq 3$
$a\leqq 1$

また、$0 \lt a$なので、最小値が$f(4)$になるのは
$0 \lt a\leqq 1$
のときである。

解答ス:1


最小値が$f(p)$になるのは図Bのときで、定義域に頂点が含まれるとき。
つまり、
$0\displaystyle \leqq 1+\frac{3}{a}\leqq 4$
のとき。

これを計算して、
$-1\displaystyle \leqq\frac{3}{a}\leqq 3$
$a$は正なので、両辺に$a$をかけても不等号の向きは変わらないから、
$-a\leqq 3\leqq 3a$
となる。

この式と、$0 \lt a$より、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l}
-a\leqq 3\\
3\leqq 3a\\
0 \lt a
\end{array}\right.$
ができる。
これをさらに計算して
$\left\{\begin{array}{l}
-3\leqq a\\
1\leqq a\\
0 \lt a
\end{array}\right.$
より、数直線を描くまでもなく、この連立不等式の解は
$1\leqq a$
である。
なので、最小値が$f(p)$になるのは、
$1\leqq a$
のとき。

解答セ:1


ちなみに、図Aになるのは
$1+\displaystyle \frac{3}{a}\leqq 0$
のときだけど、これを計算すると
$\displaystyle \frac{3}{a}\leqq-1$
$3\leqq-a$
$a\leqq-3$
となるので、$a$が負になってしまうから不適。
なので、図Aのパターンは考えなくてよい。

ソ~ト

以上より、$0\leqq x\leqq 4$における$y=f(x)$の最小値が$1$になる$a$を求めるためには、
$0 \lt a\leqq 1$のとき、$f(4)=1$式A $1\leqq a$のとき、$f(p)=1$式B を解けばよい。


式Aのとき、
$f(4)=a\cdot 4^{2}-2(a+3)\cdot 4-3a+21$
これが$1$なので、
$a\cdot 4^{2}-2(a+3)\cdot 4-3a+21=1$

これを計算して、
$16a-8a-24-3a+20=0$
$5a-4=0$
$a=\displaystyle \frac{4}{5}$
となる。

解答ソ:4, タ:5


式Bのとき、
$f(p)=f\left(1+\frac{3}{a}\right)$
$f(p)$$=a\cdot\left(1+\frac{3}{a}\right)^{2}-2(a+3)\left(1+\frac{3}{a}\right)-3a+21$
これが$1$なので、
$a\cdot\left(1+\frac{3}{a}\right)^{2}-2(a+3)\left(1+\frac{3}{a}\right)-3a+21=1$
を解く。

$a\cdot\left(1+\frac{3}{a}\right)^{2}-2(a+3)\left(1+\frac{3}{a}\right)-3a+20=0$
途中式 両辺を$a$倍して、
$a^{2}\cdot\left(1+\frac{3}{a}\right)^{2}-2(a+3)\left(1+\frac{3}{a}\right)a-3a^{2}+20a=0$
$(a+3)^{2}-2(a+3)(a+3)-3a^{2}+20a=0$
$(a+3)^{2}-2(a+3)^{2}-3a^{2}+20a=0$
$-(a+3)^{2}-3a^{2}+20a=0$
$-a^{2}-6a-9-3a^{2}+20a=0$
$-4a^{2}+14a-9=0$
$4a^{2}-14a+9=0$

解の公式より、
$a=\displaystyle \frac{14\pm\sqrt{14^{2}-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}$
途中式 $a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{14\pm\sqrt{2^{2}\cdot 7^{2}-2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}}}{2\cdot 4}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{14\pm 2\sqrt{7^{2}-2^{2}\cdot 3^{2}}}{2\cdot 4}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7\pm\sqrt{(7+2\cdot 3)(7-2\cdot 3)}}{4}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7\pm\sqrt{13}}{4}$
だけど、$1\leqq a$なので、$\displaystyle \frac{7-\sqrt{13}}{4}$は不適。
詳しく $\sqrt{9} \lt \sqrt{13} \lt \sqrt{16}$
なので
$3 \lt \sqrt{13} \lt 4$
この式の各辺に$-1$をかけて、
$-3 \gt -\sqrt{13} \gt -4$
$-4 \lt -\sqrt{13} \lt -3$
各辺に$7$をたして、
$3 \lt 7-\sqrt{13} \lt 4$
各辺を$4$で割って、
$\displaystyle \frac{3}{4} \lt \frac{7-\sqrt{13}}{4} \lt 1$
となる。
よって、$\displaystyle \frac{7-\sqrt{13}}{4}$は$1$より小さい数であるから不適。
よって、
$a=\displaystyle \frac{7+\sqrt{13}}{4}$
である。

解答チ:7, ツ:1, テ:3, ト:4