関数の式を
$y=ax^{2}+bx+c$式Ａ
とする。

$\left\{\begin{array}{l} a=2\\ b=-7\\ c=7 \end{array}\right.$
のときを考える。

このとき、式Ａを平方完成すると
$y=2x^{2}-7x+7$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{y}&=2\left(x^{2}-\dfrac{7}{2}x\right)+7\\ &=2\left\{x^{2}-2\cdot\dfrac{7}{4}x+\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}-\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}\right\}+7\\ &=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}-2\cdot\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}+7\\ &=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}+7\left(-2\cdot\dfrac{7}{4^{2}}+1\right)\\ &=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}+7\left(-\dfrac{7}{8}+\dfrac{8}{8}\right) \end{align} $$

$\phantom{y}=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}+\dfrac{7}{8}$
となる。

よって、このときの放物線の頂点の座標は
$\left(\dfrac{7}{4},\ \dfrac{7}{8}\right)$
である。

解答ア：７, イ：４, ウ：７, エ：８

問題文は長いけれど、要するに
関数のグラフが必ず点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$を通るような
$b$，$c$ の条件を求めよ ということだ。

グラフが点$\mathrm{P}(1,2)$を通るためには、
式Ａに$(1,2)$を代入した
$a+b+c=2$式Ｂ
が成り立てばよい。

グラフが点$\mathrm{Q}(3,4)$を通るためには、
式Ａに$(3,4)$を代入した
$9a+3b+c=4$式Ｃ
が成り立てばよい。

よって、両方の点を通るためには、式Ｂ，式Ｃがともに成り立てばよい。
つまり、ふたつの式の連立方程式を解けばよい。

$a$は答えに含まれてもいいので、数字だと思って解こう。

というわけで、式Ｂ，式Ｃの連立方程式
$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=2\class{tex_formula}{式Ｂ}\\ 9a+3b+c=4\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{array}\right.$
を解く。

式Ｃから式Ｂを辺々引いて、

	$9a$	$+3b$	$+c$	$=$	$4$
$-)$	$a$	$+b$	$+c$	$=$	$2$
	$8a$	$+2b$		$=$	$2$

より
$2b=2-8a$
$b=1-4a$式Ｄ

解答オ：1, カ：4

これを式Ｂに代入すると、
$a+1-4a+c=2$
$$ \begin{align} c&=2-1-a+4a\\ &=1+3a\class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$

解答キ：1, ク：3

が求められる。

以上より、式Ｄ，式Ｅを式Ａに代入した
$y=ax^{2}+(1-4a)x+1+3a$①
のグラフは、必ず2点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る。

太郎さんと花子さんの会話にあるように、$o \lt a$ のとき、関数①のグラフは
下に凸の放物線なので、グラフの最小値が頂点 だ。

これを言いかえると、
グラフ上にあるすべての点のうち、一番下にあるのは頂点 である。

なので、$0 \lt a$のとき、$a$の値にかかわらず、頂点の$y$座標は

点$\mathrm{P}$に注目すると
頂点が点$\mathrm{P}$のとき、$y=2$※
頂点が点$\mathrm{P}$以外のとき、$y \lt 2$
だから、
頂点の$y$座標 $\leqq 2$ 条件Ａ

同様に、点$\mathrm{Q}$に注目すると、
頂点の$y$座標 $\leqq 4$ 条件Ｂ

となる。

頂点の$y$座標は この2つの条件を満たすから、図Ａの赤い部分の
$y\leqq 2$
だ。

したがって、グラフの頂点の$y$座標の最大値は
$2$ である。

解答ケ：2

また、※より、グラフの頂点の$y$座標が$2$になるのは、
頂点が点$\mathrm{P(1,2)}$ のとき。

つまり、①式が
$y=a(x-1)^{2}+2$
と変形できるときだ。

これを展開して、
$y=ax^{2}\AKA{-2a}x+\MIDORI{a+2}$

これが①式
$y=ax^{2}+\AKA{(1-4a)}x+\MIDORI{1+3a}$①
と等しい。

このことから、
$\left\{\begin{array}{l} \AKA{-2a}=\AKA{1-4a}\\ \MIDORI{a+2}=\MIDORI{1+3a} \end{array}\right.$式Ｆ
ができる。

式Ｆのどちらの式を使っても、
$a=\dfrac{1}{2}$
となる。

解答コ：1, サ：2

(A)，(B)，(C)をひとつずつ考えてゆこう。

(A)

関数のグラフが点$(0,3)$を通るから、①式に$(0,3)$を代入すると
$1+3a=3$
なので、このときの$a$は
$3a=2$
$a=\dfrac{2}{3}$
だ。

いまは$a \lt 0$の場合を考えている。
したがって $a=\dfrac{2}{3}$は不適だから、
(A)は起こらない。

(B)

$a \lt 0$なので、関数のグラフは上に凸の放物線だ。

上に凸の放物線と$x$軸の負の部分が交わるのは、交点が
$x$軸の負の部分の異なる２点図Ｂ $x$軸の負の部分とそれ以外図Ｃ の２パターンある。

関数のグラフは点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$を通る。
点$\mathrm{P}$も点$\mathrm{Q}$も第１象限にあるので、第１象限を通らない図Ｂのパターンは不適だ。
図Ｃのパターンだけを考えよう。

図Ｃのパターンになるのは、グラフと$\mathrm{y}$軸との交点（図Ｃの緑の点）が原点より上にあるとき。
つまり、①式に$x=0$を代入したときの$y$が正のときだから、①式の定数項が正のときだ。

よって、(B)が起こるのは
$1+3a \gt 0$
より
$a \gt -\dfrac{1}{3}$式Ｇ
のときである。

いまは$a \lt 0$のときを考えている。
$a \lt 0$と式Ｇは共通部分が存在する。（図Ｄ）

$a$の値がこの共通部分のとき グラフは図Ｃの状態になるから、
(B)は起こり得る。

(C)

復習

二次関数
$y=ax^{2}+bx+c$
の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$
とかける。

復習より、①式の関数のグラフの頂点の$x$座標は
$\dfrac{-(1-4a)}{2a}$
とかける。

(C)は これが$2$以下になる場合なので、
$\dfrac{-(1-4a)}{2a}\leqq 2$
のとき。

これを整理すると、$a \lt 0$なので
$-1+4a\geqq 4a$
より
$-1\geqq 0$
のとき。

これは起こり得ない式だから、
(C)は起こらない。

以上より、シにあてはまるものは、解答群の
②
である。

解答シ：２