大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 追試 数学Ⅰ 第４問 [1] 解説
(1)
まず、相関係数についての復習から。
復習
ふたつのデータに
正の相関がある場合、
一方が大きくなると もう一方も大きくなる
負の相関がある場合、
一方が大きくなると もう一方は小さくなる
傾向がある。
復習より、「スポーツ好き」と「反復横とび」に負の相関がある場合、
「スポーツ好き」が増えると「反復横とび」は減る
傾向があることになる。
なので、選択肢のうち正しいものは
①
である。
解答ア：１
(2)
散布図と相関係数についても復習しておく。
復習
以下の散布図は、横軸・縦軸ともに矢印方向が大きい値とする。
![大学入学共通テスト2025年追試 数学ⅠＡ 第２問 [2] 復習図](_image/1A_2_2_01.svg)
左端の散布図のように すべての点が右上がりの直線上に分布していれば、相関係数は$+1$ 右端の図のように 右下がりの直線上に分布していれば、相関係数は$-1$ 点の分布が直線的な配置から乱れるにつれて、相関係数は$0$に近づく
ただし、点が直線的に分布していても、次の図のように縦軸や横軸に平行なときには、相関係数は$0$に近い値になる。
![大学入学共通テスト2025年追試 数学ⅠＡ 第２問 [2] 復習図](_image/1A_2_2_02.svg)
（誤解しないでほしいのだけど、分布の傾きが$0$に近づけば相関係数も$0$に近づくという意味ではない。このへんについてはページをつくって詳しく解説したいけど、当分先の話になるかも。）
特に、下の図のように点が完全に軸に平行に分布しているとき、相関係数は計算できないため存在しない。
![大学入学共通テスト2025年追試 数学ⅠＡ 第２問 [2] 復習図](_image/1A_2_2_03.svg)
問題文中の図２も図３も、点は直線的には分布していない。
なので、両方とも相関係数は$0$に近い値をとると考えられる。
図２のデータの相関係数は$0.07$であるとも書いてあるし。
よって、図３のデータの相関係数は、選択肢のうち最も$0$に近い
②
であると考えられる。
解答イ：２
(3)
(i)
ここで、分散について復習しておく。
復習
大きさ$n$のデータ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$があり、
データの平均値を$\overline{x}$
データの各値の２乗の平均値を$\overline{x^{2}}$
とするとき、分散$s^{2}$は
$$
\begin{align}
s^{2}&=\dfrac{1}{n}\left\{ \begin{aligned} (x_{1}-\overline{x})^{2}+&(x_{2}-\overline{x})^{2}+\\ &\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}
\end{aligned}\right\}\\ &=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}
\end{align}
$$
とかける。
このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。
データ$W$の
$x$の平均$\overline{x}$は、
$$
\begin{align}
\overline{x}&=\dfrac{1}{6}\left(-1+1-2+0+0+2\right)\\
&=0
\end{align}
$$
解答ウ：０
$x$の分散$s_{x}^{2}$は、復習のどちらの式を使っても、
$$
\begin{align}
s_{x}^{2}&=\dfrac{1}{6}\left\{\begin{aligned}(-1)^{2}+& 1^{2}+(-2)^{2}\\& +0^{2}+0^{2}+2^{2}\end{aligned}\right\}\\
&=\dfrac{1+1+4+4}{6}\\
&=\dfrac{5}{3}
\end{align}
$$
解答エ：７
である。
また、$y$は、$x$と同じ値を並べ替えただけなので、
平均$\overline{y}=\overline{x}=0$
分散$s_{y}^{2}=s_{x}^{2}$式Ａ
となる。
ここで
復習
標準偏差は分散の正の平方根なので、
分散を$s^{2}$とすると、標準偏差$s$は
$s=\sqrt{s^{2}}$
である。
復習より、式Ａはさらに
標準偏差$s_{y}=s_{x}$式Ｂ
と変形できる。
これまでの計算から、問題文中の「表１ 計算表」を完成させると表Ａのようになる。
| $x$ | $y$ | $x-\overline{x}$ | $y-\overline{y}$ | $\left(x-\overline{x}\right)\left(y-\overline{y}\right)$ |
|---|---|---|---|---|
| $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ |
| $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $-1$ |
| $-2$ | $0$ | $-2$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $0$ |
| $0$ | $2$ | $0$ | $2$ | $0$ |
| $2$ | $0$ | $2$ | $0$ | $0$ |
さらに、共分散についての復習だ。
復習
データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの平均値を$\overline{x}$，$\overline{y}$
とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の共分散$s_{xy}$は
$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\left\{\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})\\&\quad+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+\\&\qquad\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\end{aligned}\right\}$
式Ｃ
である。
表Ａと復習の式Ｃより、共分散$s_{xy}$は
$$
\begin{align}
s_{xy}&=\dfrac{1}{6}\times\left(-1-1+0+0+0+0\right)\\
&=-\dfrac{1}{3}
\end{align}
$$
となる。
解答オ：５
(ii)
相関係数についての復習もしておこう。
復習
データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの標準偏差を$s_{x}$，$s_{y}$
$\{x\}$と$\{y\}$の共分散を$s_{xy}$
とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式Ｄ
である。
いま、
オより
$s_{xy}=-\dfrac{1}{3}$
式Ｂより
$s_{x}\cdot s_{y}=s_{x}^{2}$
となるから、これにエを代入して
$s_{x}\cdot s_{y}=\dfrac{5}{3}$
だ。
これを復習の式Ｄに代入すると、
$$
\begin{align}
r_{xy}&=\dfrac{-\cfrac{1}{3}}{\cfrac{5}{3}}\\
&=-\dfrac{1}{5}
\end{align}
$$
が求められる。
解答カ：３
(4)
(4)では相関係数が正であるための必要十分条件を問われている。
(3)で復習したように、相関係数を求める式は
$r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式Ｄ
だった。
式Ｄの分母は標準偏差の積なので、正の数だ。 標準偏差が$0$になることもあるけれど、データ$W'$の場合は明らかに$0$じゃない。
なので、問題文にもあるように、相関係数が正であるための必要十分条件は、共分散が正であることである。
また、 (3)で復習したように、共分散を求める式は
$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\left\{\MIDORI{\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})\\&\quad+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+\\&\qquad\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\end{aligned}}\right\}$
式Ｃ
だった。
式Ｃの$n$は正の数だから、共分散が正であることの必要十分条件は、式Ｃの緑の部分が正であることだ。
ちなみに、表Ａで計算した
$(x-\overline{x})(y-\overline{y})$
を、偏差の交差積という。
式Ｃの緑の部分は、偏差の交差積の和である。
以上より、相関係数が正であるための必要十分条件は、
偏差の交差積の和が正
であることだと分かる。
ということで、データ$W'$で 偏差の交差積の和を求めよう。
データ$W'$の$x$，$y$ともに値の和は$0$だから、平均値も$0$だ。
なので、偏差の交差積は$xy$と等しい。
したがって、偏差の交差積の和は
$\begin{aligned}-1\cdot 1+1\cdot(-1)&+(-1-a)(1-a)\\&+(1-a)(-1-a)\\&+(-1+a)(1+a)\\&+(1+a)(-1+a)\end{aligned}$
途中式
$\begin{aligned}=-2& -(1+a)(1-a)\\& -(1-a)(1+a)\\& -(1-a)(1+a)\\& -(1+a)(1-a)\end{aligned}$
$=-2-4(1+a)(1-a)$
$=-2-4+4a^{2}$
となる。
これが正であればよいので、
$2(2a^{2}-3) \gt 0$
より
$2a^{2} \gt 3$
$a^{2} \gt \dfrac{3}{2}$
問題文より $a$ は正の数なので、
$a \gt \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
分母を有理化して、求める$a$の範囲は
$a \gt \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
である。
解答キ：６, ク：２