まず、漸化式の基本の形の復習をしておこう。

復習

漸化式の基本の形は４つあって、
$p_{n+1}=p_{n}+d$
公差が $d$ の等差数列 $p_{n+1}=rp_{n}$
公比が $r$ の等比数列 $p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が $f(n)$ $ p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
$p_{n+1}-\gamma=\alpha(p_{n}-\gamma)$ の形にして解く だった。

$\{a_{n}\}$ の漸化式は、復習の２番目の形だ。
なので、$\{a_{n}\}$ は
初項が $-3$ 公比が $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列である。

よって、$\{a_{n}\}$ の一般項 $a_{n}$ は
$a_{n}=-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
とかける。

解答ア：－, イ：３, ウ：－, エ：１, オ：２

この式の右辺は
$-3$ を $1$ 回
$-\dfrac{1}{2}$ を $n-1$ 回 かけたものだから、$a_{n}$ は負の数を $n$ 回かけたものだ。

したがって、

が成り立つ。

ここで
$b_{n}+6=B_{n}$式Ｂ
とおくと、式Ａ'は
$B_{n+1}=-\dfrac{1}{2}B_{n}$式Ａ''
と表せる。
これは復習の２番目の形だ。

なので、$\{B_{n}\}$ は
式Ｂより、初項 $B_{1}$ は
$$ \begin{align} \qquad B_{1}&=b_{1}+6\\ &=-3+6\\ &=3 \end{align} $$ 式Ａ''より、公比が $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列である。

よって、一般項 $B_{n}$ は
$B_{n}=3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
とかける。

これを式Ｂに代入すると、求める $\{b_{n}\}$ の一般項 $b_{n}$ は
$b_{n}+6=3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
より
$ b_{n}=3\cdot \textcolor{red}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}-6$
であることが分かる。

解答ケ：３, コ：－, サ：１, シ：２, ス：６

この式の赤い部分を
$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$式Ｃ
とする。

次に問われているのは、 すべての自然数 $n$ について、
式Ｃ$\leqq A$
が成り立つ最小の実数 $A$ だ。

ややこしい書き方をしているけれど、要するに
式Ｃの最大値 $A$ を求めよ
ということになる。

カキと同様に考えると、式Ｃは
$-\dfrac{1}{2}$ を $n-1$ 回 かけたものだから、負の数を $n-1$ 回かけたものだ。

なので、

である。

よって、式Ｃが最大になるのは $n$ が奇数のときだ。

$n$が奇数のとき、
$n=1$ のとき $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{1-1}=1$
$n=3$ のとき $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3-1}=\dfrac{1}{4}$
$n=5$ のとき $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5-1}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}$
$\hspace{100px} \vdots$
となるから、$n$ が大きくなるにつれて式Ｃの値は小さくなってゆく。

以上より、式Ｃの最大値は
$n=1$ のとき $1$ であることが分かる。

したがって、
式Ｃ $\leqq 1$
つまり
$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\leqq 1$
が成り立つ。

解答セ：１

この式の両辺に $3$ をかけて $6$ を引くと
$3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-6\leqq-3$
となるけど、この式の左辺は $b_{n}$ だ。

よって、すべての自然数 $n$ で
$b_{n}\leqq-3$
なので、ソの解答群のうち正しいものは
⓪
である。

解答ソ：０

(i)

したがって、命題１の
$-4\leqq c_{k}\leqq 4\ \Rightarrow\ -4\leqq c_{k+1}\leqq 4$
は真である。

このことから、
$-4\leqq\alpha\leqq 4$
のとき、
$-4\leqq c_{1}\leqq 4\ \Rightarrow\ -4\leqq c_{2}\leqq 4$
$-4\leqq c_{2}\leqq 4\ \Rightarrow\ -4\leqq c_{3}\leqq 4$
$-4\leqq c_{3}\leqq 4\ \Rightarrow\ -4\leqq c_{4}\leqq 4$
$\hspace{100px} \vdots$
が成り立つので、命題２の
$-4\leqq\alpha\leqq 4\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \text{すべての自然数 }n\text{ について、}\\ -4\leqq c_{n}\leqq 4\end{gathered}\right]$
も成り立つ。

(ii)

命題(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)について、ひとつずつ考えてみよう。

命題Ⅰ

問題文中の表１を見ると、$\alpha=5$ のとき、$c_{2}$，$c_{3}$，$c_{4}$ とも負になっている。
これを反例として、命題Ⅰは偽である。

命題Ⅱ

タで考えたように、$c_{k+1}\leqq 4$ はつねに成り立つ。
なので、$\alpha\leqq 4$ のとき、
$c_{1}\leqq 4$
$c_{2}\leqq 4$
$c_{3}\leqq 4$
$c_{4}\leqq 4$
$\quad \vdots$
が成り立つので、命題Ⅱは真である。

タチと同じように、$c_{n+1}$で考える。

$c_{n+1} \lt 0$
に①式を代入すると、
$-\dfrac{1}{2}{c_{k}}^{2}+4 \lt 0$
となる。

これはさらに
$-\dfrac{1}{2}{c_{k}}^{2} \lt -4$
${c_{k}}^{2} \gt 8$
より
$c_{k} \lt -\sqrt{8}$，$\sqrt{8} \lt c_{k}$
と変形できる。

よって、$c_{k+1} \lt 0$ が成り立つのは、
$c_{k} \lt -2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2} \lt c_{k}$
のときだ。

$\alpha$ がこれ以外の負の数のとき、$c_{2} \lt 0$ は成り立たない。
したがって、命題Ⅲは偽である。

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以上より、ツの解答群のうち、正しいものは
⑤
であることが分かる。

解答ツ：５