問題文の$\triangle \mathrm{OAB}$は、例えば図Ａのようになっている。
図Ａのように$\angle \mathrm{OAB}$を$\MIDORIMARU$，$\angle \mathrm{OBA}$を$\MURASAKIMARU$とおく。

$\triangle \mathrm{OAP}$（図Ａの黄色い三角形）に正弦定理を使うと
$\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\sin \MIDORIMARU}=2R_{1}$
とかけるから、

$R_{1}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{2\sin \MIDORIMARU}$式Ａ
である。

解答ア：２

また、$\triangle \mathrm{OAB}$（図Ａの赤い三角形）に正弦定理を使うと
$\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{B}}{\sin \MIDORIMARU}=2R_{3}$
とかけるから、

$R_{3}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{B}}{2\sin \MIDORIMARU}$式Ｂ
である。

解答イ：１

式Ａ，式Ｂより
$$ \begin{align} \dfrac{R_{1}}{R_{3}}&=\dfrac{\cfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{2\sin \MIDORIMARU}}{\cfrac{\mathrm{O}\mathrm{B}}{2\sin \MIDORIMARU}}\\ &=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\mathrm{O}\mathrm{B}}\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ であることが分かる。

同様に、

$\triangle \mathrm{OPB}$（図Ａの青い三角形）に正弦定理を使うと
$\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\sin \MURASAKIMARU}=2R_{2}$式Ｄ

$\triangle \mathrm{OAB}$（図Ａの赤い三角形）に正弦定理を使うと
$\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{A}}{\sin \MURASAKIMARU}=2R_{3}$式Ｅ
である。

式Ｄ，式Ｅより、
$\dfrac{2R_{2}}{2R_{3}}=\dfrac{\cfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\sin \MURASAKIMARU}}{\cfrac{\mathrm{O}\mathrm{A}}{\sin \MURASAKIMARU}}$
$\dfrac{R_{2}}{R_{3}}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\mathrm{O}\mathrm{A}}\class{tex_formula}{式Ｆ}$ であることが分かる。

ここで、式Ｃの両辺を逆数にして
$\dfrac{R_{3}}{R_{1}}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{B}}{\mathrm{O}\mathrm{P}}$式Ｃ'
とすると、問題文の式は

$$ \begin{align} \dfrac{R_{2}}{R_{1}}&=\dfrac{R_{3}}{R_{1}}\cdot\dfrac{R_{2}}{R_{3}}\\ &=\text{式Ｃ}'\times \text{式Ｆ}\\ &=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{B}}{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\mathrm{O}\mathrm{A}}\\ &=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{B}}{\mathrm{O}\mathrm{A}}\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ と表せる。

解答ウ：１, エ：０

(i)

$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=5$ のとき、$\triangle \mathrm{OAB}$は図Ｂのような直角三角形である。

$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$ のとき、$\triangle \mathrm{OAP}$（図Ｂの黄色い三角形）は二等辺三角形である。

点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AP}$に下ろした垂線の足を点$\mathrm{H}$とすると、
$\mathrm{AH}=\mathrm{PH}$

詳しく

二等辺三角形の頂角から対辺に下ろした垂線は対辺を二等分するので、
$\mathrm{AH}=\mathrm{PH}$

だから、
$\mathrm{AP}=2\mathrm{AH}$式Ｈ
となる。

ということで、$\mathrm{AH}$を求めよう。

ここで、$\triangle \mathrm{OAB}$（赤い三角形）と$\triangle \mathrm{HAO}$（斜線の三角形）を考えると、
$\MIDORIMARU$の角は共通
$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AHO}=90^{\circ}$
だから、ふたつの三角形は相似だ。

よって
$\mathrm{AO}:\mathrm{AH}=\mathrm{AB}:\mathrm{AO}$
となるから、
$3:\mathrm{AH}=5:3$
$5\mathrm{AH}=9$
$\mathrm{AH}=\dfrac{9}{5}$
である。

これを式Ｈに代入すると、
$$ \begin{align} \mathrm{AP}&=2\cdot\dfrac{9}{5}\\ &=\dfrac{18}{5} \end{align} $$ であることが分かる。

解答オ：１, カ：８, キ：５

(ii)

最後に問われているのは、点$\mathrm{P}$の位置が変わったとき、$R_{1}$，$R_{2}$，$R_{3}$の大小関係がどうなるかだ。

(1)で求めたことを思い出すと、
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{R_{1}}{R_{3}}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\mathrm{O}\mathrm{B}}\class{tex_formula}{式Ｃ}\\ \dfrac{R_{2}}{R_{3}}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{\mathrm{O}\mathrm{A}}\class{tex_formula}{式Ｆ}\\ \dfrac{R_{2}}{R_{1}}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{B}}{\mathrm{O}\mathrm{A}}\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{array}\right.$
だった。

点$\mathrm{P}$の位置が変わっても
$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{O}\mathrm{A}=3\\ \mathrm{O}\mathrm{B}=4 \end{array}\right.$
は変わらない。

これを、式Ｃ，式Ｆ，式Ｇに代入すると、
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{R_{1}}{R_{3}}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{4}\\ \dfrac{R_{2}}{R_{3}}=\dfrac{\mathrm{O}\mathrm{P}}{3}\\ \dfrac{R_{2}}{R_{1}}=\dfrac{4}{3} \end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l} R_{1}:R_{3}=\mathrm{O}\mathrm{P}:4\class{tex_formula}{式Ｃ'}\\ R_{2}:R_{3}=\mathrm{O}\mathrm{P}:3\class{tex_formula}{式Ｆ'}\\ R_{2}:R_{1}=4:3\class{tex_formula}{式Ｇ'} \end{array}\right.$
と表せる。

よって、
$\ \ $※ 式Ｃ'より、 $\mathrm{OP} \lt 4$ のとき、$R_{1} \lt R_{3}$
$4 \lt \mathrm{OP}$ のとき、$R_{1} \gt R_{3}$ 式Ｆ'より、 $\mathrm{OP} \lt 3$ のとき、$R_{2} \lt R_{3}$
$3 \lt \mathrm{OP}$ のとき、$R_{2} \gt R_{3}$ 式Ｇ'より、
$R_{1} \lt R_{2}$
であることが分かる。

ということで、それぞれの場合における$\mathrm{OP}$を求めよう。

$0 \lt \mathrm{AP} \lt a$ のとき、点$\mathrm{P}$は図Ｃの赤線上にある。
このとき、
$\mathrm{OP} \lt 3$
だから、※より
$\left\{\begin{array}{l} R_{1} \lt R_{3}\\ R_{2} \lt R_{3}\\ R_{1} \lt R_{2} \end{array}\right.$
だ。

よって、このとき、
$R_{1} \lt R_{2} \lt R_{3}$
である。

解答ク：０

$a \lt \mathrm{AP} \lt 5$ のとき、点$\mathrm{P}$は図Ｃの青線上にある。
このとき、
$3 \lt \mathrm{OP} \lt 4$
だから、※より
$\left\{\begin{array}{l} R_{1} \lt R_{3}\\ R_{3} \lt R_{2}\\ R_{1} \lt R_{2} \end{array}\right.$
だ。

よって、このとき、
$R_{1} \lt R_{3} \lt R_{2}$
である。

解答ケ：１