「二人が取り出す共通の自然数」は長いので、この解説では単に「共通の数字」と書く。
同様に、「カードに書かれた自然数」は「数字」とする。

また、花子さんと太郎さんのどちらが先に試行を行っても 結果に影響はない。
ここでは花子さんが先ということにして解説する。

図Ａのような試行Ａと試行Ｂを考える。

(i)

試行Ａを１回行った場合、６個の異なる数字から２個取り出すので、取り出し方は

$$ \begin{align} {}_{6}\mathrm{C}_{2}&=\dfrac{\textcolor{dodgerblue }{\cancelto{3}{\textcolor{black}{6}}}\cdot 5}{\textcolor{dodgerblue }{\cancel{\textcolor{black}{2}}}\cdot 1}\\ &=15\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ 通りある。

解答ア：１, イ：５

(ii)

$P(A_{2})$

事象$A_{2}$が起こるのは、二人が同じ数字のペアを取り出す場合。

数字のペアの取り出し方は、式Ａの
$15$通り
だったけど、この$15$通りは同じ確率で起こる。

なので、花子さんがどんな数字のペアを取り出しても、太郎さんが同じペアを取り出す確率はつねに
$\dfrac{1}{15}$
だ。

したがって、
$P(A_{2})=\dfrac{1}{15}$式Ｂ
である。

解答ウ：1, エ：1, オ：5

$P(A_{0})$

事象$A_{0}$は、共通の数字がない場合だ。
そのためには、太郎さんは花子さんが取り出さなかった数字から２個取り出せばよい。

数字は全部で$6$個あり、そのうちの$2$個は花子さんが取り出した数字だ。
よって、太郎さんは残りの$4$個から$2$個取り出せばよい。

したがって、その確率$P(A_{0})$は

$$ \begin{align} P(A_{0})&=\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}\\ &=\dfrac{\textcolor{royalblue}{\cancelto{2}{\textcolor{black}{6}}}}{\textcolor{royalblue}{\cancelto{5}{\textcolor{black}{15}}}}\class{tex_formula}{式Ｄ}\\ &=\dfrac{2}{5} \end{align} $$ となる。

解答カ：２, キ：５

(i)

(1)(ii)の別解と同様に解こう。

事象$B_{2}$の例として、共通の数字が１と２である場合を考える。

試行Ｂを２回行う場合、 すべての数字の取り出し方は
$6^{2}$通り 取り出した数字が１と２である場合の数は
${}_{2}\mathrm{P}_{2}$通り

なので、１と２を取り出す確率は、花子さんも太郎さんも
$\dfrac{{}_{2}\mathrm{P}_{2}}{6^{2}}=\dfrac{2}{6^{2}}$
だ。

よって、、共通の数字が１と２で事象$B_{2}$が起こる確率は
$\dfrac{2}{6^{2}}\times\dfrac{2}{6^{2}}$式Ｅ
である。

けれど、事象$B_{2}$は１と２以外でも起こる。
事象$B_{2}$が起こる数字のペアは、式Ａの$15$通りある。
さらに、この$15$通りは同じ確率で起こるから、どの数字のペアで事象$B_{2}$が起こる確率も、式Ｅと同じ
$\dfrac{2}{6^{2}}\times\dfrac{2}{6^{2}}$
だ。

したがって、事象$B_{2}$が起こる確率$P(B_{2})$は、
$$ \begin{align} P(B_{2})&=\dfrac{2}{6^{2}}\times\dfrac{2}{6^{2}}\times 15\\ &=\dfrac{\textcolor{dodgerblue}{\cancel{\textcolor{black}{2}}}\times \textcolor{lime }{\cancel{\textcolor{black}{2}}}\times \textcolor{chocolate}{\cancelto{5}{\textcolor{black}{15}}}}{\textcolor{dodgerblue}{\cancelto{\textcolor{chocolate}{\cancel{\textcolor{dodgerblue}{3}}}}{\textcolor{black}{6}}}\times \textcolor{lime}{\cancelto{3}{\textcolor{black}{6}}}\times 6^{2}}\\ &=\dfrac{5}{3\times 6^{2}}\class{tex_formula}{式Ｆ}\\ &=\dfrac{5}{108} \end{align} $$ となる。

解答ク：５, ケ：１, コ：０, サ：８

(ii)

次は、事象$B_{0}$が起こる確率$P(B_{0})$だ。
花子さんの発言のように、場合分けして求めよう。

花子さんが２回とも同じ数字を取り出す場合

花子さんが同じ数字を２回取り出す確率は
$\dfrac{1}{6}$式Ｇ 事象$B_{0}$が起こるのは、花子さんが取り出さなかった５個の数字から太郎さんが取り出したとき。
太郎さんのすべての取り出し方は
$6^{2}$通り 花子さんが取り出さなかった５個の数字から取り出す場合の数は
$5^{2}$通り なので、その確率は
$\dfrac{5^{2}}{6^{2}}$式Ｈ
となる。

よって、このとき、事象$B_{0}$が起こる確率は、式Ｇ$\times$式Ｈの
$\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5^{2}}{6^{2}}$式Ｉ
$\quad=\dfrac{25}{216}$
である。

解答シ：2, ス：5, セ：2, ソ：1, タ：6

花子さんが異なる数字を取り出す場合

花子さんが異なる数字を取り出す確率は
$\dfrac{5}{6}$ 事象$B_{0}$が起こるのは、花子さんが取り出さなかった$4$個の数字から太郎さんが取り出したとき。
なので、その確率は
$\dfrac{4^{2}}{6^{2}}$
となる。

よって、このとき、事象$B_{0}$が起こる確率は
$\dfrac{5}{6}\times\dfrac{4^{2}}{6^{2}}$式Ｊ
である。

式Ｉと式Ｊの場合は同時に起こらないので、事象$B_{0}$が起こる確率$P(B_{0})$は、
$P(B_{0})=$式Ｉ$+$式Ｊ
$$ \begin{align} \phantom{P(B_{0})}&=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5^{2}}{6^{2}}+\dfrac{5}{6}\times\dfrac{4^{2}}{6^{2}}\\ &=\dfrac{5(5+4^{2})}{6\times 6^{2}}\\ &=\dfrac{5\times \textcolor{dodgerblue}{\cancelto{7}{\textcolor{black}{21}}}}{\textcolor{dodgerblue}{\cancelto{2}{\textcolor{black}{6}}}\times 6^{2}}\class{tex_formula}{式Ｋ}\\ &=\dfrac{35}{72} \end{align} $$ となる。

解答チ：3, ツ：5, テ：7, ト：2

(1)で行った作業から、
$\left\{\begin{array}{l} P(A_{2})=\dfrac{1}{15}\class{tex_formula}{式Ｂ}\\ P(A_{0})=\dfrac{6}{15}\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{array}\right.$
であることが分かっている。

また、二人が試行Ａを１回ずつ行う場合、$A_{2}$，$A_{1}$，$A_{0}$以外の事象は起こらないから
$P(A_{2})+P(A_{1})+P(A_{0})=1$
とかける。

これに式Ｂ，式Ｄを代入すると、
$\dfrac{1}{15}+P(A_{1})+\dfrac{6}{15}=1$
より

$$ \begin{align} P(A_{1})&=1-\dfrac{1}{15}-\dfrac{6}{15}\\ &=\dfrac{8}{15} \end{align} $$ であることが分かる。

以上より、$P(A_{2})$，$P(A_{1})$，$P(A_{0})$のうち最大のものは
$P(A_{1})$ である。

解答ナ：１

また、(2)で行った作業から、
$\left\{\begin{array}{l} P(B_{2})=\dfrac{5}{3\times 6^{2}}\class{tex_formula}{式Ｆ}\\ P(B_{0})=\dfrac{5\times 21}{6\times 6^{2}}\class{tex_formula}{式Ｋ} \end{array}\right.$
であることが分かっている。

式Ｆはさらに $$ \begin{align} P(B_{2})&=\dfrac{5}{3\times 6^{2}}\\ &=\dfrac{2\times 5}{2\times 3\times 6^{2}}\\ &=\dfrac{10}{6^{3}}\class{tex_formula}{式Ｆ'} \end{align} $$

式Ｋはさらに $$ \begin{align} P(B_{0})&=\dfrac{5\times 21}{6\times 6^{2}}\\ &=\dfrac{105}{6^{3}}\class{tex_formula}{式Ｋ'} \end{align} $$

と計算できる。

また、二人が試行Ｂを２回ずつ行う場合、$B_{2}$，$B_{1}$，$B_{0}$以外の事象は起こらないから
$P(B_{2})+P(B_{1})+P(B_{0})=1$
とかける。

これに式Ｆ'，式Ｋ'を代入すると
$\dfrac{10}{6^{3}}+P(B_{1})+\dfrac{105}{6^{3}}=1$
より $$ \begin{align} P(B_{1})&=1-\dfrac{10}{6^{3}}-\dfrac{105}{6^{3}}\\ &=\dfrac{6^{3}-(10+105)}{6^{3}}\\ &=\dfrac{101}{6^{3}} \end{align} $$ であることが分かる。。

以上より、$P(B_{2})$，$P(B_{1})$，$P(B_{0})$のうち最大のものは
$P(B_{0})$ である。

解答ニ：０