おすすめでもないけど、イ～キを $F(x)$ の式を求めて解くと次のようになる。

式Ａを計算すると
$$ \begin{align} F(x)&=\int_{0}^{x}(t^{2}-2t)\,dt\\ &=\left[\dfrac{1}{3}t^{3}-t^{2}\right]^{x}_{0}\\ &=\dfrac{1}{3}x^{3}-x^{2}\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$ となる。

また、式Ｂより、$x=0$，$2$ のとき $F'(x)=0$ なので、
$F(x)$ は $x=0$，$2$ のときに
極値 $F(0)$，$F(2)$ をとる ことが分かる。

$F(0)$ は、式Ｄに $x=0$ を代入して
$$ \begin{align} F(0)&=\dfrac{1}{3}\cdot 0^{3}-0^{2}\\ &=0 \end{align} $$ $F(2)$ は、式Ｄに $x=2$ を代入して
$$ \begin{align} F(2)&=\dfrac{1}{3}\cdot 2^{3}-2^{2}\\ &=-\dfrac{4}{3}\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$

となるから、$F(x)$の極値は
$x=0$ のとき $0$ $x=2$ のとき $-\dfrac{4}{3}$ である。

このうち、極値が大きい方の
$x=0$ のとき $0$ が極大値

解答イ：０, ウ：０

小さい方の
$x=2$ のとき $-\dfrac{4}{3}$ が極小値だ。

解答エ：２, オ：－, カ：４, キ：３

グラフで考えると次のようになる。
見た目はかなり違うけど、やっていることは上の解法と全く同じだ。

$0\leqq x\leqq 2$のとき

$0\leqq x\leqq 2$ のとき、直線 $t=x$ は例えば図Ｃのような位置にある。

なので、$G(x)$は
$\displaystyle G(x)=\int_{0}^{x}\{-t(t-2)\}\,dt$
とかける。

解答コ：２

このとき、
$G(x)$ は図Ｃの黄色い部分の面積 $F(x)$ は図Ｃの青い部分だけど、
   横軸より下の部分なので負の値 だ。

図Ｃの黄色と青の面積は等しいから、
$0\leqq x\leqq 2$ のとき
$G(x)=-F(x)$式Ｇ
と表せる。

解答サ：９

$2\leqq x$ のとき

$2\leqq x$ のとき、直線 $t=x$ は例えば図Ｄのような位置にある。

なので、$G(x)$は
$$ \begin{align} G(x)=\int_{0}^{2}\{-t(t-2)\}\,dt+\int_{2}^{x}t(t-2)\,dt \end{align} $$ とかける。

解答シ：０

これを図Ｄの色がついた部分の面積で表すと、
$G(x)=$ 黄 $+$ 紫式Ｋ
となる。

図Ｄの黄色い部分は青い部分と同じ面積だ。
また、青い部分の面積は、(1)の最後に考えたように $S$ だった。

よって、式Ｋはさらに
$G(x)=S+$ 紫式Ｋ'
と表せる。

また、このときの $F(x)$ は、横軸より下の面積は負の値になるので
$$ \begin{align} F(x)&=-\text{青}+\text{紫}\\ &=-S+\text{紫}\class{tex_formula}{式Ｌ} \end{align} $$ とかける。

式Ｌの右辺に $2S$ をたすと式Ｋ'の右辺になるから、$2\leqq x$ のとき
$G(x)=F(x)+2S$式Ｊ
と表せる。

これに式Ｅの
$S=\dfrac{4}{3}$
を代入すると、
$$ \begin{align} G(x)&=F(x)+2\times \dfrac{4}{3}\\ &=F(x)+\dfrac{8}{3} \end{align} $$ であることが分かる。

解答ス：２

導関数ではなく $y=G(x)$ 自体を考えると、次のような解法になる。

(1)で考えたように、$F(x)$ は
$x=0$ のとき極大値 $0$ $x=2$ のとき極小値 $-S$ をとった。

よって、$y=F(x)$ のグラフの概形は図Ｆのようになる。

また、(2)(ii)の式Ｇ，式Ｊより、$G(x)$ と $F(x)$ の関係は
$G(x)=\left\{\begin{array}{ll} -F(x)& (0\leqq x\leqq 2)\\ F(x)+2S& (2\leqq x) \end{array}\right.$
だった。

なので、$y=G(x)$ のグラフは、図Ｇのように
$0\leqq x\leqq 2$ では
$y=F(x)$ を $x$ 軸に関して対称移動した、赤い曲線 $2\leqq x$ では
$y=F(x)$ を $y$ 軸方向に $2S$ 平行移動した、オレンジの曲線 になる。

したがって、選択肢のうちで正しいものは
②
だ。

解答：セ：２

(2)(ii) の結果を使わずに、単純に計算で求めると、次のようになる。

$$ \begin{align} H(x)=&\int_{\alpha}^{x}\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|\,dt\\ &\qquad -\int_{\alpha}^{x}(t-\alpha)(t-\beta)\,dt \end{align} $$ 式Ｍ
を考える。

$\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|$ の絶対値をはずすと、
$\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|=\left\{\begin{array}{l} -(t-\alpha)(t-\beta)\\ \hspace{72px} (\alpha\leqq t\leqq\beta)\\ (t-\alpha)(t-\beta)\\ \hspace{72px} (\beta\leqq t) \end{array}\right.$
式Ｎ
となる。

式が長くて面倒だから
$(t-\alpha)(t-\beta)=h(t)$
とおくと、式Ｍ，式Ｎは
$\displaystyle H(x)=\int_{\alpha}^{x}\left|h(t)\right|\,dt-\int_{\alpha}^{x}h(t)\,dt$
式Ｍ'
$\left|h(t)\right|=\left\{\begin{array}{ll} -h(t)&(\alpha\leqq t\leqq\beta)\\ h(t)&(\beta\leqq t) \end{array}\right.$ 式Ｎ'

とかける。

式Ｍ'，式Ｎ'より、

$\alpha\leqq x\leqq\beta$ のとき、
$$ \begin{align} H(x)&=\int_{\alpha}^{x}\left\{-h(t)\right\}\,dt-\int_{\alpha}^{x}h(t)\,dt\\ &=-2\int_{\alpha}^{x}h(t)\,dt \end{align} $$

$\beta\leqq x$ のとき、
$$ \begin{align} H(x)&=\left\{\int_{\alpha}^{\beta}\left\{-h(t)\right\}\,dt+\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{\int_{\beta}^{x}h(t)\,dt}}}\right\}\\ &\qquad-\left\{\int_{\alpha}^{\beta}h(t)\,dt+\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{\int_{\beta}^{x}h(t)\,dt}}}\right\}\\ &=-2\int_{\alpha}^{\beta}h(t)\,dt\class{tex_formula}{式Ｏ} \end{align} $$

と表せる。

式Ｏは $x$ の値にかかわらず一定の値だ。
したがって、求めるソの範囲は
$\beta\leqq x$
である。

解答ソ：３

このときの $H(x)$ の値は、式Ｏの $h(t)$ をもとにもどして
$\displaystyle -2\textcolor{dodgerblue}{\int_{\alpha}^{\beta}(t-\alpha)(t-\beta)\,dt}$式Ｐ
と表せる。

この式の青い部分は
$y=(t-\alpha)(t-\beta)$ と $t$ 軸で囲まれた部分の面積の $-1$ 倍 だ。（横軸より下の面積は負の値になる）

これは
$y=(x-\alpha)(x-\beta)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積の $-1$ 倍 と等しい。

よって、式Ｐの値、つまりこのときの $H(x)$ の値は
$y=(x-\alpha)(x-\beta)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積の $2$ 倍 である。

解答タ：２

せっかくだから、もうひとつ別解を載せておこう。
あまりお勧めでもない方法なので、興味がない人は読まなくても大丈夫。

$\alpha \lt \beta$ かつ $\alpha\leqq x$ のとき、
$$ \begin{align} H(x)=&\int_{\alpha}^{x}\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|\,dt\\ &\qquad -\int_{\alpha}^{x}(t-\alpha)(t-\beta)\,dt \end{align} $$ 式Ｍ
を
$\displaystyle H(x)=\int_{\alpha}^{x}\left\{\textcolor{red}{\begin{aligned}&\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|\\&\qquad-(t-\alpha)(t-\beta)\end{aligned}}\right\}\,dt$
と変形して、赤い部分を$k(t)$とおくと
$\displaystyle H(x)=\int_{\alpha}^{x}\textcolor{red}{k(t)}\,dt$ $k(t)=\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|-(t-\alpha)(t-\beta)$
式Ｑ とかける。

(2)(i) と同様に $\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|$ の絶対値をはずすと、
$\left|(t-\alpha)(t-\beta)\right|=\left\{\begin{array}{l} -(t-\alpha)(t-\beta)\\ \hspace{72px} (\alpha\leqq t\leqq\beta)\\ (t-\alpha)(t-\beta)\\ \hspace{72px} (t\leqq\alpha,\ \beta\leqq t) \end{array}\right.$
となる。

これを式Ｑに代入すると

$\alpha\leqq t\leqq\beta$ のとき
$$ \begin{align} k(t)&=-(t-\alpha)(t-\beta)-(t-\alpha)(t-\beta)\\ &=-2(t-\alpha)(t-\beta) \end{align} $$

$t\leqq\alpha,\ \beta\leqq t$ のとき
$$ \begin{align} k(t)&=(t-\alpha)(t-\beta)-(t-\alpha)(t-\beta)\\ &=0 \end{align} $$

となるから、$k(t)$ は
$k(t)=\left\{\begin{array}{ll} -2(t-\alpha)(t-\beta)& (\alpha\leqq t\leqq\beta)\\ 0& (t\leqq\alpha,\ \beta\leqq t) \end{array}\right.$
と表せる。

よって、$y=k(t)$ のグラフは図Ｈの赤い線だ。

今問われているのは、$\alpha \leqq x$ のとき、$H(x)$ の値が一定になるような $x$ の範囲だ。

$\displaystyle H(x)=\int_{\alpha}^{x}k(t)\,dt$
なので、$H(x)$ は、図Ｈの赤い線と横軸、そして直線 $t=x$ で囲まれた部分の面積である。

図Ｈより
$\beta\leqq t$
の部分では $y=k(t)$ のグラフと横軸が重なっているから、面積は $0$ だ。

よって、$x$ がこの範囲を動くとき、つまり
$\beta\leqq x$
のとき、$H(x)$ の値は変化せず一定になる。

解答ソ：３

また、このとき、$H(x)$ の値は図Ｈの黄色い部分の面積と等しい。

黄色い部分の面積は青い部分の面積の $2$ 倍、つまり
関数 $y=(t-\alpha)(t-\beta)$ のグラフと $t$ 軸で囲まれた面積の $2$ 倍 である。

これを
関数 $y=(x-\alpha)(x-\beta)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた面積の $2$ 倍 と言いかえても 値は変わらない。

したがって、タの選択肢のうち正しいものは
②
である。

解答タ：２