(i)

$x^{n}$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$，余りを $k$ とすると、
$x^{n}=(x-2)Q(x)+k$①
とかける。

解答ア：４

①式に $x-2=0$ を変形した $x=2$ を代入すると、
$2^{n}=0\times Q(2)+k$
より
$k=2^{n}$
であることが分かる。

解答イ：５

(ii)

(ii)で問われているのは余りだけなので、剰余の定理を使って解く。

復習より、求める余りは、 $x^{n}$ に $x=\dfrac{1}{2}$ を代入した

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\dfrac{1}{2^{n}}$
である。

解答ウ：８

(i)

花子さんの発言にしたがって
$X=x-2$式Ａ
とおくと、
$x=X+2$
より
$x^{n}=(X+2)^{n}$式Ｂ
とかける。

ここで、二項定理の復習だ。

復習

$$ \begin{align} (a+b)^{n}&={}_{n}\mathrm{C}_{0}\,a^{n}b^{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}\,a^{n-1}b^{1}\\ &\qquad +{}_{n}\mathrm{C}_{2}\,a^{n-2}b^{2}+\cdots\\ &\hspace{40px}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}\,a^{1}b^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}\,a^{0}b^{n} \end{align} $$

復習より、式Ｂは
$$ \begin{align} x^{n}&={}_{n}\mathrm{C}_{0}\,X^{n}\,2^{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}\,X^{n-1}\,2^{1}+\cdots\\ &\qquad+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}\,X^{2}\,2^{n-2}\\ &\hspace{40px}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}\,X^{1}\,2^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}\,X^{0}\,2^{n}\\ &=\textcolor{royalblue}{X^{n}+n\cdot 2X^{n-1}+\cdots}\\ &\qquad \textcolor{royalblue}{+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}X^{2}}\\ &\hspace{40px}+n\cdot 2^{n-1}X+2^{n}\class{tex_formula}{式Ｂ'} \end{align} $$ と展開できる。

解答エ：４, オ：０

式Ｂ'の青い部分の各項はそれぞれ$X^{2}$で割り切れるから、青い部分は
$$ \begin{align} &\textcolor{royalblue}{X^{n}+n\cdot 2X^{n-1}+\cdots+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}X^{2}}\\ &\qquad=\textcolor{green}{\left(\begin{aligned}X^{n-2}+& n\cdot 2X^{n-3}+\cdots\\&+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}\end{aligned}\right)}X^{2} \end{align} $$ と因数分解できる。

この式の緑の部分を$\textcolor{green}{A(X)}$とおくと
$$ \begin{align} &\textcolor{royalblue}{X^{n}+n\cdot 2X^{n-1}+\cdots+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}X^{2}}\\ &\qquad=\textcolor{green}{A(X)}\cdot X^{2} \end{align} $$ とかけるので、式Ｂ'は
$x^{n}=\textcolor{royalblue}{A(X)\cdot X^{2}}+n\cdot 2^{n-1}X+2^{n}$
と変形できる。

これに式Ａを代入して $X$ を $x$ にもどすと
$$ \begin{align} x^{n}=A(x-2)\cdot&(x-2)^{2}\\ &+\textcolor{red}{n\cdot 2^{n-1}(x-2)+2^{n}} \end{align} $$ となるから、赤い部分が $x^{n}$ を $(x-2)^{2}$ で割った余り、つまり $R(x)$ であることが分かる。

したがって、
$R(x)=n\cdot 2^{n-1}(x-2)+2^{n}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{R(x)}&=n\cdot 2^{n-1}x-n\cdot 2^{n-1}\cdot 2+2^{n}\\ &=n\cdot 2^{n-1}x-n\cdot 2^{n}+2^{n} \end{align} $$

$\phantom{R(x)}=n\cdot 2^{n-1}x+(-n+1)\cdot 2^{n}$
である。

解答カ：４, キ：３

(ii)

問題文の指示に従って、(i)と同様に、
$X=2x-1$式Ｃ
とおくと、
$x=\dfrac{X+1}{2}$
より
$$ \begin{align} x^{n}&=\dfrac{(X+1)^{n}}{2^{n}}\\ &=\dfrac{1}{2^{n}} (X+1)^{n} \class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$ とかける。

(i)での作業から、求める余りは 式Ｄを展開したときの $X^{1}$ の項と定数項であることが分かる。

二項定理より、式Ｄを展開をすると、$X^{1}$ の項と定数項は
$$ \begin{align} \dfrac{1}{2^{n}}&\left({}_{n}\mathrm{C}_{n-1}\,X^{1}\,1^{n-1}{}_{n}\mathrm{C}_{n}\,X^{0}\,1^{n}\right)\\ &=\dfrac{1}{2^{n}}\left(nX+1\right) \class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$ となるから、式Ｅを $x$ で表したものが余りだ。

式Ｅに式Ｃを代入して $X$ を $x$ にもどすと、求める余りは $$ \begin{align} \dfrac{1}{2^{n}}\left(nX+1\right)&=\dfrac{1}{2^{n}}(2nx-n+1)\\ &=\dfrac{2n}{2^{n}}x+\dfrac{-n+1}{2^{n}}\\ &=\dfrac{n}{2^{n-1}}x+\dfrac{-n+1}{2^{n}} \end{align} $$ である。

解答ク：８, ケ：７