まず、相関係数についての復習から。

復習

ふたつのデータに
正の相関がある場合、
一方が大きくなると もう一方も大きくなる 負の相関がある場合、
一方が大きくなると もう一方は小さくなる 傾向がある。

復習より、「スポーツ好き」と「反復横とび」に負の相関がある場合、
「スポーツ好き」が増えると「反復横とび」は減る 傾向があることになる。

なので、選択肢のうち正しいものは
①
である。

解答ス：１

散布図と相関係数についても復習しておく。

問題文中の図２も図３も、点は直線的には分布していない。
なので、両方とも相関係数は$0$に近い値をとると考えられる。
図２のデータの相関係数は$0.07$であるとも書いてあるし。

よって、図３のデータの相関係数は、選択肢のうち最も$0$に近い
②
であると考えられる。

解答セ：２

(i)

ここで、分散について復習しておく。

復習

大きさ$n$のデータ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$があり、
データの平均値を$\overline{x}$ データの各値の２乗の平均値を$\overline{x^{2}}$ とするとき、分散$s^{2}$は
$$ \begin{align} s^{2}&=\dfrac{1}{n}\left\{ \begin{aligned} (x_{1}-\overline{x})^{2}+&(x_{2}-\overline{x})^{2}+\\ &\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2} \end{aligned}\right\}\\ &=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2} \end{align} $$ とかける。

このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。

データ$W$の

である。

また、$y$は、$x$と同じ値を並べ替えただけなので、

平均$\overline{y}=\overline{x}=0$

分散$s_{y}^{2}=s_{x}^{2}$式Ａ

となる。

ここで

復習

標準偏差は分散の正の平方根なので、
分散を$s^{2}$とすると、標準偏差$s$は
$s=\sqrt{s^{2}}$
である。

復習より、式Ａはさらに
標準偏差$s_{y}=s_{x}$式Ｂ と変形できる。

これまでの計算から、問題文中の「表１ 計算表」を完成させると表Ａのようになる。

さらに、共分散についての復習だ。

復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの平均値を$\overline{x}$，$\overline{y}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の共分散$s_{xy}$は
$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\left\{\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})\\&\quad+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+\\&\qquad\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\end{aligned}\right\}$
式Ｃ
である。

表Ａと復習の式Ｃより、共分散$s_{xy}$は
$$ \begin{align} s_{xy}&=\dfrac{1}{6}\times\left(-1-1+0+0+0+0\right)\\ &=-\dfrac{1}{3} \end{align} $$ となる。

解答チ：５

(ii)

相関係数についての復習もしておこう。

復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの標準偏差を$s_{x}$，$s_{y}$ $\{x\}$と$\{y\}$の共分散を$s_{xy}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式Ｄ
である。

いま、

チより
$s_{xy}=-\dfrac{1}{3}$

式Ｂより
$s_{x}\cdot s_{y}=s_{x}^{2}$
となるから、これにタを代入して
$s_{x}\cdot s_{y}=\dfrac{5}{3}$

だ。

これを復習の式Ｄに代入すると、
$$ \begin{align} r_{xy}&=\dfrac{-\cfrac{1}{3}}{\cfrac{5}{3}}\\ &=-\dfrac{1}{5} \end{align} $$ が求められる。

解答ツ：３

(4)では相関係数が正であるための必要十分条件を問われている。

(3)で復習したように、相関係数を求める式は
$r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式Ｄ
だった。

式Ｄの分母は標準偏差の積なので、正の数だ。 標準偏差が$0$になることもあるけれど、データ$W'$の場合は明らかに$0$じゃない。

なので、問題文にもあるように、相関係数が正であるための必要十分条件は、共分散が正であることである。

また、 (3)で復習したように、共分散を求める式は
$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\left\{\MIDORI{\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})\\&\quad+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+\\&\qquad\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\end{aligned}}\right\}$
式Ｃ
だった。

式Ｃの$n$は正の数だから、共分散が正であることの必要十分条件は、式Ｃの緑の部分が正であることだ。

ちなみに、表Ａで計算した
$(x-\overline{x})(y-\overline{y})$
を、偏差の交差積という。
式Ｃの緑の部分は、偏差の交差積の和である。

以上より、相関係数が正であるための必要十分条件は、
偏差の交差積の和が正 であることだと分かる。

ということで、データ$W'$で 偏差の交差積の和を求めよう。

データ$W'$の$x$，$y$ともに値の和は$0$だから、平均値も$0$だ。
なので、偏差の交差積は$xy$と等しい。

したがって、偏差の交差積の和は
$\begin{aligned}-1\cdot 1+1\cdot(-1)&+(-1-a)(1-a)\\&+(1-a)(-1-a)\\&+(-1+a)(1+a)\\&+(1+a)(-1+a)\end{aligned}$

途中式

$\begin{aligned}=-2& -(1+a)(1-a)\\& -(1-a)(1+a)\\& -(1-a)(1+a)\\& -(1+a)(1-a)\end{aligned}$
$=-2-4(1+a)(1-a)$
$=-2-4+4a^{2}$

$=2(2a^{2}-3)$
となる。

これが正であればよいので、
$2(2a^{2}-3) \gt 0$
より
$2a^{2} \gt 3$
$a^{2} \gt \dfrac{3}{2}$

問題文より $a$ は正の数なので、
$a \gt \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

分母を有理化して、求める$a$の範囲は
$a \gt \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
である。

解答テ：６, ト：２