大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 追試数学Ⅰ 第１問 [2] 解説

(1)

最初に、命題の真偽と集合について復習しておこう。

命題の真偽と集合の復習

命題「［仮定］であれば［結論］である」について、
[仮定]が[結論]に含まれていれば真 [仮定]が[結論]からはみ出していれば偽である。

これをベン図で説明すると、[仮定]の集合を赤、[結論]の集合を青として、命題が真になるのは図Ａのような場合である。

また、命題が偽になるのは図Ｂのような場合だ。

反例は、[仮定]には含まれるけれど[結論]には含まれない部分にあたる。
なので、図Ｂの、赤い斜線はあるけど青い斜線はない部分が反例である。

条件$p$，$q$を満たす数の集合は表Ｃのようになっている。

表Ｃ

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$
$p$	○	○	○	○		○						○
$q$	○	○	○			○			○									○

表Ｃを見ると、$n=9$ は
$\overline{p}$，$q$ に含まれる
$p$，$\overline{q}$ に含まれない
ことが分かる。

よって、復習より、$n=9$ が反例になる命題は
$\overline{p}$，$q$ が仮定
$p$，$\overline{q}$ が結論
だから、

$\overline{p}\Rightarrow p$
$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$
$q\Rightarrow p$
$q\Rightarrow\overline{q}$
の４つ考えられる。

このうち、グレーのふたつは意味をなさないし、解答群にもない。

よって、解答群のうち正しいのは、残るふたつの
① $q\Rightarrow p$
⑥ $\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$
である。

解答ス：１, セ：６

(2)

さらに、必要条件と十分条件の復習をしよう。

必要条件，十分条件の復習

図Ｄで、
$A$は$B$の必要条件 $B$は$A$の十分条件である。

つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件小さい集合は大きい集合の十分条件である。

「大は小の必要条件，小は大の十分条件」
呪文のように憶えておこう。

図Ｅのようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件となる。

また、図Ｆのように、片方の集合がもう片方を含むような関係でない場合は、必要条件でも十分条件でもない。

表Ｃに条件$r$を満たす数の集合を書き加えると、表Ｇができる。

表Ｇ

	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$9$	$12$	$18$
$p$	○	○	○	○	○		○
$q$	○	○	○		○	○		○
$r$	○	○	○		○

表Ｇを見ると

$r$の集合は$q$の集合に含まれている
$(r$の集合$)\neq(q$の集合$)$
だ。

よって、復習より、
$r$は、$q$であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

解答ソ：１

$(p\cap q)$の集合は、表Ｇの緑の部分。
なので、$(p\cap q)=r$である。

よって、復習より、
$(p\cap q)$は、$r$であるための必要十分条件である。

解答タ：２

であることが分かる。

別解

上の解のように表を書いて見ながら考えるのがおすすめだけど、次のような考え方もできる。

$6$は$12$と$18$の最大公約数
公約数は最大公約数の約数
である。

よって、条件$p$，$q$，$r$を満たす集合同士の関係は、
$r\subset p$
$r\subset q$式Ａ
$r=(p\cap q)$式Ｂ
となっている。

したがって、復習より、

$r$は、$q$であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

解答ソ：１

$(p\cap q)$は、$r$であるための必要十分条件である。

解答タ：２

(3)

最初にした「命題の真偽と集合の復習」より、
$p\Rightarrow(q\cup s)$
が真であるためには、
※※ $p$が$(q\cup s)$に含まれていればよいことが分かる。

条件$p$，$q$を満たす数の集合をもう一度載せた（表Ｈ）。

表Ｈ

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$
$p$	○	○	○	○		○						○
$q$	○	○	○			○			○									○

表Ｈを見ると、$p$の要素のうち、赤い部分の
$4$と$12$
は$q$に含まれていない。

なので、※※が成り立つためには、
$s$に$4$と$12$が含まれる必要がある。

よって、自然数$a$は$4$と$12$を倍数にもつ数なので、$a$は$4$と$12$の公約数だ。
したがって、$a$のうち最大のものは、
$4$と$12$の最大公約数$4$
である。

解答チ：４

このとき、条件$p$，$(q\cup s)$を満たす数の集合は表Ｈの通りだ。
（$19$以上の数は省略してある）

表Ｉ

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$
$p$	○	○	○	○		○						○
$q\cup s$	○	○	○	○		○		○	○			○				○		○

命題Ａの逆は
$(q\cup s)\Rightarrow p$
なので、最初にした「命題の真偽と集合の復習」より、反例$n$は
$q\cup s$に含まれる
$p$に含まれない
数だ。

したがって、表Ｉより、$n$の最小のものは
$8$
である。

解答ツ：８